El término de error en las series de Taylor y la convolución.

Question

Me he preguntado mucho por qué es el resto de la expansión de Taylor de una función, $R_n(x)$ , expresado (en una de las muchas formas) como algo muy parecido a la aconvolución. Precisamente:

$$R_n(x) = \int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)dt$$

y si se trata de la serie de Mc Laurin, entonces es una convolución:

$$R_n(x) = \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)dt$$

He estudiado esta fórmula de error en particular porque me parece muy elegante y no es difícil de manipular.

Sé que la demostración de esta fórmula se hace simplemente por inducción sobre $n$ se parte de la aproximación lineal:

$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_1(x)$$ para que

$$R_1(x) = f(x)-f(a) - f'(a) (x-a)$$

$${R_1}(x) = \int\limits_a^x {f'\left( t \right)dt} - \int\limits_a^x {f'(a)dt} $$

$${R_1}(x) = \int\limits_a^x {f'\left( t \right) - f'\left( a \right)dt} $$

Así que ahora integramos por partes con

$$f'\left( t \right) - f'\left( a \right) = u$$

$$t - x = v$$

para conseguir

$${R_1}(x) = \int\limits_a^x {\left( {x - t} \right)f''\left( t \right)dt} $$

Podemos hacer lo mismo con $R_2(x)$ ya que

$${R_2}(x) = {R_1}(x) - f''\left( a \right)\frac{{{{\left( {x - a} \right)}^2}}}{{2!}}$$

$${R_2}(x) = \int\limits_a^x {\left( {x - t} \right)f''\left( t \right)dt} - \int\limits_a^x {\left( {x - t} \right)f''\left( a \right)dt} $$

$${R_2}(x) = \int\limits_a^x {\left( {x - t} \right)\left( {f''\left( t \right) - f''\left( a \right)} \right)dt} $$

Así que, de nuevo, la integración por partes da

$${R_2}(x) = \int\limits_a^x {\frac{{{{\left( {x - t} \right)}^2}}}{{2!}}f'''\left( t \right)dt} $$

Q1 : ¿Se puede demostrar esto de forma alternativa, notando que el error es una convolución entre $\dfrac{{{x^n}}}{{n!}}$ y $f^{(n+1)}(x)$ ? Q2 : ¿Cómo se puede interpretar esto en el ámbito de la "teoría" de la convolución y otras ideas similares?

Answer 1

Puede conseguirlo a través de la Transformación de Laplace aunque para una clase restringida de funciones.

Si $f\colon[0,\infty)\to\mathbb{R}$ es continua a trozos tal que $|f(x)|\le C\,e^{cx}$ para algunas constantes $C,c\in\mathbb{R}$ su transformada de Laplace se define como $$ \mathcal{L}f(s)=\int_0^\infty e^{-sx}f(x)\,dx,\quad s>c. $$ Voy a hacer uso de las siguientes propiedades:

1. Linealidad
2. $\mathcal{L}(x^n)=n!/s^{n+1}$
3. $\mathcal{L}(f^{(n)})(s)=s^n\mathcal{L}f(s)-\sum_{k=0}^{n-1}s^{n-k-1}f^{(k)}(0)$
4. $\mathcal{L}(f\ast g)=\mathcal{L}f\cdot\mathcal{L}g$

Ahora, dejemos que $f\colon[0,\infty)\to\mathbb{R}$ sea una función con $n+1$ derivadas continuas tales que $|f^{(k)}(x)|\le C\,e^{cx}$ para todos $x\ge0$ , $0\le k\le n+1$ y algunas constantes $C,c\in\mathbb{R}$ . Dejemos que $$R_n(x)=f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^n.$$ Entonces $$\begin{align*} \mathcal{L}R_n(s)&=\mathcal{L}f(s)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\mathcal{L}(x^k)(s)\\ &=\mathcal{L}f(s)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{s^{k+1}}\\ &=\frac{1}{s^{n+1}}\Bigl(s^{n+1}\mathcal{L}f(s)-\sum_{k=0}^ns^{n-k}f^{(k)}(0)\Bigr)\\ &=\frac{\mathcal{L}(x^{n})(s)}{n!}\cdot\mathcal{L}(f^{(n+1)})(s)\\ &=\mathcal{L}\Bigl(\frac{x^n}{n!}\ast f^{(n+1)}\Bigr). \end{align*}$$