Un problema que incluye la norma dada de $u \in C_0^\infty (\mathbb R)$

Question

Sea $u \in C_0^\infty (\mathbb R)$ , $v(x) := u(x) e^{-x^2 /2}$ . Y definir la norma como $$\| u \|_1^2 = \int_{\mathbb R} | u' (x) |^2 e^{-x^2} dx + \int_{\mathbb R} | u(x) |^2 e^{-x^2} dx$$ Entonces quiero demostrar que $$\| u \|_1^2 = \int_{\mathbb R} ( | v' (x) |^2 + x^2 | v(x)|^2 ) dx$$

Creo que esto no es trivial utilizando sólo la definición de la norma anterior. $C_0^\infty$ significa que $C^\infty$ funciones con un soporte compacto. Y tengo una pregunta más.

Si la condición $u \in C_0^\infty ( \mathbb R)$ cambia a " $\| u \|_1^2 < \infty$ ", ¿sigue siendo válido?

Answer 1

Tenemos $$|v(x)|^2+x^2\,|v'(x)|^2=(|u'(x)|^2-2\,x\,u(x)\,u'(x)+2\,x^2|u(x)|^2)\,e^{-x^2}.$$ La igualdad deseada es, por tanto, equivalente a $$\int_\mathbb{R}(-2\,x\,u(x)\,u'(x)+2\,x^2|u(x)|^2)\,e^{-x^2}\,dx=\int_\mathbb{R}|u(x)|^2\,e^{-x^2}\,dx.$$ La integración por partes da $$\begin{align*} \int_\mathbb{R}(-2\,x\,u(x)\,u'(x)\,e^{-x^2})\,dx&=-\int_\mathbb{R}(|u(x)|^2)'\,x\,e^{-x^2}\,dx\\ &=\int_\mathbb{R}|u(x)|^2(\,x\,e^{-x^2})'\,dx\\ &=\int_\mathbb{R}|u(x)|^2(1-2\,\,x^2)\,e^{-x^2}\,dx, \end{align*}$$ y el resultado es el siguiente. El cálculo es válido siempre que $\lim_{x\to\pm\infty}|u(x)|^2(\,x\,e^{-x^2})=0$ .