Supongamos que tengo una cavidad con una frecuencia principal y dos frecuencias de banda lateral diferentes caracterizadas por los operadores de aniquilación $a$ , $a_1$ y $a_2$ . Si quiero calcular el número de fotones en la cavidad, debería ser ( $a+ a_1+a_2$ ) $^\dagger$ ( $a+a_1+a_2$ )? En caso afirmativo, ¿cómo lo entiendo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Para un modo único $\hat{a}$ el número de fotones $N_\mathrm{ph}$ viene dada por
$$N_\mathrm{ph} = \langle \hat{a}^\dagger \hat{a}\rangle $$
Esto debe entenderse como la población de fotones del modo.
Cómo llegar a múltiples modos ? Estás contando fotones en diferentes grados de libertad, que son los modos. Así que deberías sumar los números de fotones de cada modo. En el caso del OP
\begin{align}N_\mathrm{ph} &= \langle \hat{a}^\dagger \hat{a}\rangle + \langle \hat{a}_1^\dagger \hat{a}_1\rangle + \langle \hat{a}_2^\dagger \hat{a}_2\rangle \\ &= \langle \hat{a}^\dagger \hat{a} + \hat{a}_1^\dagger \hat{a}_1 + \hat{a}_2^\dagger \hat{a}_2\rangle \,,\end{align}
que no es igual a la expresión sugerida por el OP
$$N_\textrm{ph}\neq\langle (\hat{a}^\dagger + \hat{a}_1^\dagger + \hat{a}_2^\dagger)(\hat{a} + \hat{a}_1 + \hat{a}_2)\rangle.$$
La razón es muy sencilla y también puede entenderse de forma clásica. Cuando se cuentan fotones, se están contando intensidades no amplitudes.
Un ejemplo en el que esto es importante es el Hamiltoniano del campo electromagnético (véase por ejemplo wiki ). En su forma más simple
$$H = \sum_\lambda E_\lambda \hat{a}_\lambda^\dagger\hat{a}_\lambda.$$
Así que $\langle H \rangle$ es simplemente la suma de las energías de cada modo multiplicada por el número de fotones de cada modo, como cabría esperar.
Arjan
Puntos
3549
Supongo que las frecuencias de banda lateral que mencionas deben ser menores que el rango espectral libre de la cavidad.
En este límite, lo mejor es pensar en este problema en los siguientes términos. Sólo hay UN modo óptico TEM00 soportado por la cavidad*. Las bandas laterales que mencionas representan una oscilación temporal de la amplitud de ese modo particular en la frecuencia de modulación. Tenga en cuenta que esto está operando en una imagen de Heisenberg para el operador fotón porque estamos imaginando un operador dependiente del tiempo. Sin embargo, ya estabas trabajando con un operador dependiente del tiempo cuando especificaste que el tono portador tiene bandas laterales.
El número instantáneo de fotones se calcularía entonces como
\begin{align} \hat{n}(t) =& \hat{a}^{\dagger}(t)\hat{a}(t)\\ \langle \hat{n}(t) \rangle =&\langle \hat{a}^{\dagger}(t)\hat{a}(t)\rangle = n_0 + \eta \cos(\Omega t + \phi) \end{align}
Dónde $n_0$ es el número medio de fotones portadores, $\eta$ es la profundidad de modulación de la banda lateral, $\Omega$ es la frecuencia de modulación y $\phi$ es la fase de modulación. Tenga en cuenta que aquí $\eta$ se representa en unidades de número de fotones, así que si quieres puedes interpretarlo de alguna manera como el número de fotones en las bandas laterales, pero reitero que eso podría ser un poco engañoso, ya que en realidad no son modos separados de la cavidad óptica, y que prefiero la perspectiva del modo único dependiente del tiempo.
*Dos modos si se consideran dos polarizaciones diferentes de la luz.
