Si $\lim_{n \to \infty}2^n|a_{n+1}-a_n|=L>0$ entonces $a_n$ converge

Question

Tengo problemas para probar esto.

Desde $\lim_{n\to \infty}|a_{n+1}-a_n|=0$ no implica la convergencia de $a_n$ sé que tengo que utilizar la "tasa de convergencia", es decir, que la diferencia entre cada elemento consecutivo de $a$ es "sobre" $2^{-n}$ :

$$\frac{L-\varepsilon}{2^n}<|a_{n+1}-a_n|<\frac{L+\varepsilon}{2^n}$$

y luego

$$|a_{n+1}|<|a_n|+\frac{L+\varepsilon}{2^n} $$

para que

$$|a_{n+1}-a_n|<\left||a_n|+\frac{L+\varepsilon}{2^n} -a_n \right|$$

Sin embargo, no consigo avanzar.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Sugerencia : Utiliza el criterio de Cauchy para la convergencia de una sucesión. Utilice el hecho de que $|a_n - a_m| = |a_n - a_{n-1} + a_{n-1} - \ldots - a_m|$ (si $n > m$ ), la desigualdad triangular y la información que tienes sobre el límite para acotar la expresión en consecuencia.

Answer 2

Usted tiene para un arbitrariamente fijado $\epsilon>0$ $$|a_{n+1}-a_n|<\frac{L+\varepsilon}{2^n}$$ para todos $n\ge N_\epsilon$ . Toma $\epsilon=1$ y encontrar $N_1$ .

A continuación, elija un $\delta>0$ $$|a_{n+k}-a_{n}|\leq |a_{n+k}-a_{n+k-1}|+...+|a_{n+1}-a_{n}|\leq (L+1)\sum\limits_{i=0}^{k-1}{\frac{1}{2^{n+i}}},\,\forall n\ge N_1,\,\forall k>0$$ Porque la serie $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{2^n}}$$ converge, su cola va a $0$ y así $$\exists N_\delta: \sum\limits_{i=0}^{\infty}{\frac{1}{2^{n+i}}}\leq \frac{\delta}{L+1},\,\forall n\ge N_\delta$$ Por último, para todos $n\ge \max{\{N_1,N_\delta\}},\,k>0$ tenemos $$|a_{n+k}-a_{n}|\leq (L+1)\sum\limits_{i=0}^{k-1}{\frac{1}{2^{n+i}}}\leq (L+1)\sum\limits_{i=0}^{\infty}{\frac{1}{2^{n+i}}}\leq \delta$$ lo que significa que $\{a_n\}_{n\in\mathbb N}$ es una sucesión de Cauchy en $\mathbb R$ que es completa y, por tanto, la sucesión es convergente.