Functor de puntos $h_X$ es una gavilla fpqc sobre $\operatorname{Spec} \Bbb{Z}$

Question

Quiero mostrar lo siguiente. Sea $X$ sea cualquier esquema (digamos sobre el objeto terminal $\operatorname{Spec} \Bbb{Z}$ en $\textbf{Sch}$ ) y $A \to B$ un homomorfismo de anillo fielmente plano. Entonces

$$h_X(A) \to h_X(B) \stackrel{\longrightarrow}{_\longrightarrow} h_X( B\otimes_A B)$$

es un ecualizador. Estoy siendo perezoso aquí y denotando $\operatorname{Spec} A$ por sólo $A$ etc. Ahora el caso cuando $X$ es afín es fácil; esto se deduce del hecho de que el complejo de Amitsur pertinente es acíclico cuando $A \to B$ es fielmente plana. Sin embargo, ¿cómo podemos reducir al caso de que $X$ ¿es afín? He intentado muchas cosas como asumir $X$ se separa y $A \to B$ tipo finito para ver si esto funciona, y puede llegar a algo. Sin embargo, ¿es este resultado cierto en general?

Answer 1

La afirmación es cierta, pero no conozco ninguna forma fácil de reducirla al caso afín. En mi opinión, ¡aquí hay mucho trabajo por hacer! Véase, por ejemplo, el teorema 2.55 en Notas de Vistoli .