Sea $f(x)$ sea un polinomio de grado $n$ con coeficientes en $\mathbb{Q}$ . Hay formas muy conocidas de construir un $n \times n$ matriz $A$ con entradas en $\mathbb{Q}$ cuyo polinomio característico es $f$ . Mi pregunta es: ¿cuándo es posible elegir $A$ ¿Simétrico?
Una condición necesaria obvia es que las raíces de $f$ son todos reales, pero no me queda claro ni siquiera en el caso $n = 2$ que esto es suficiente. En grado $2$ esto se reduce a determinar si cada par $(p,q)$ que satisface $p^2 > 4q$ (la condición de que $x^2 + px + q$ tiene raíces reales) puede expresarse de la forma $$p = -(a + c)$$ $$q = ac - b^2$$ donde $a$ , $b$ y $c$ son racionales. Tengo algunos resultados parciales de sólo tantear y comprobar casos, pero parece claro que se necesitaría un argumento más conceptual para manejar grados mayores.
