Para concretar, quiero trabajar con $\mathbb P^1$ . Ya sabemos que su haz cotangente es $\mathcal O(-2)$ y la compactificación canónica es el espacio $\mathbb{P}(\mathcal O(-2) \oplus \mathcal O)$ . He leído los posts aquí y aquí aunque mi geometría algebraica no es lo suficientemente buena como para entenderlos del todo.
Quiero entender cómo esos puestos se relacionan con la compactación de un punto de $T^*\mathbb P^1$ . La forma en que lo estoy visualizando actualmente es que $\mathbb P^1$ es la esfera, $T^* \mathbb P^1$ es la esfera con un montón de planos complejos dispuestos para variar algebraicamente a través de la superficie (sus duales técnicamente, pero en dimensión 1 no me pierdo nada por considerar $\mathbb C^*$ como $\mathbb C$ ), y así $T^* \mathbb P^1$ es el mismo haz pero con todos estos planos complejos compactados en el mismo punto. En esencia, se parece a una esfera ( $\mathbb P^1$ ) cubierto por un montón de esferas (que parecen $\mathbb P^1$ ) todos pegados/tirados a un punto en el infinito (cada uno de los espacios cotangentes en los puntos en $\mathbb P^1$ ).
No me queda del todo claro cómo se relaciona esto con $\mathbb{P}(\mathcal O(-2) \oplus \mathcal O)$ . En cierto sentido, $\mathcal O(-2) \oplus \mathcal O$ es sólo $\mathbb P^1$ con un espacio parecido a $\mathbb{C}^2$ en cada punto en lugar de $\mathbb{C}$ . Entonces la proyectificación no es más que compactar cada una de estas $\mathbb{C}^2$ es decir, hacer $\mathbb{P}^1$ y hacerlo de forma "compatible".
Mis preguntas son: ¿es la construcción que he esbozado anteriormente "el mismo" proceso que proyectar $\mathcal O(-2) \oplus \mathcal O$ y, en caso afirmativo, ¿por qué? ¿Hay alguna razón/filosofía "más profunda" que explique por qué son el mismo proceso?
