Si una función suave de dos variables tiene dos mínimos globales, ¿tendrá necesariamente un tercer punto crítico?

Question

Supongamos que $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ a $C^{\infty}$ que tiene exactamente dos puntos mínimos globales. ¿Es cierto que $f$ tiene siempre otro punto crítico?

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Un truco habitual de visualización consiste en imaginar un terreno de altura $f(x,y)$ en el punto $(x,y)$ e imagina una lluvia interminable con el nivel del agua subiendo sin cesar en todo el plano.

• Como sólo hay dos mínimos globales, ambos deben ser también mínimos locales aislados. Por lo tanto, inicialmente el agua se acumulará en dos pequeños lagos alrededor de los mínimos.
• Esos dos puntos están conectados por un segmento de línea compacto $K$ . Como función continua, $f$ alcanza un valor máximo $M$ en el plató $K$ . Esto significa que cuando el nivel del agua ha alcanzado $M$ los dos lagos se habrán fusionado.
• El conjunto $S$ de los niveles de agua $z$ tal que dos lagos están conectados es, por tanto, no vacío y acotado desde abajo. Por lo tanto, tiene un mínimo $m$ .
• Es natural pensar que a la altura del agua $m$ debería haber un punto crítico. Un punto crítico es fácil de visualizar. Por ejemplo, la función (sugerida originalmente en una respuesta eliminada) $f(x,y)=x^2+y^2(1-y)^2$ tiene un punto de silla en el punto medio entre los dos mínimos locales en $(0,0)$ y $(0,1)$ . Pero, ¿podemos demostrar que siempre existe uno?

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Seguimiento:

• ¿Cambia la respuesta si sustituimos $\Bbb{R}^2$ con un dominio compacto? ¿Y si $f$ es un $C^\infty$ en un toro ( $S^1\times S^1$ ) o la superficie de una esfera ( $S^2$ ). De acuerdo, en un dominio compacto la función tendrá un máximo, pero si suponemos sólo puntos críticos aislados, ¿qué más implica la presencia de dos mínimos globales?
• Del mismo modo, ¿qué pasa si tenemos mínimos locales en lugar de globales?
• Si te resulta útil, puedes introducir una condición adicional (por ejemplo, si el dominio no es compacto, puedes suponer que las derivadas están acotadas; no estoy seguro de que sea relevante, pero quién sabe).

Answer 1

Con respecto a la primera parte de su pregunta: No, una función con dos mínimos globales no tiene necesariamente un punto crítico adicional. Un contraejemplo es $$ f(x, y) = (x^2-1)^2 + (e^y - x^2)^2 \, . $$ $f$ es no negativo, con mínimos globales en $(1, 0)$ y $(-1, 0)$ .

Si el gradiente $$ \nabla f(x, y) = \bigl( 4x(x^2-1) - 4x(e^y - x^2) \, , \, 2e^y(e^y-x^2) \bigr) $$ es cero, entonces $e^y =x^2$ y $x(x^2-1) = 0$ . $x= 0 $ no es posible, de modo que el gradiente es cero sólo si $x=\pm1$ y $y=0$ es decir, sólo en los mínimos globales.

La construcción se inspira en En $f$ tienen un punto crítico si $f(x, y) \to +\infty$ en todas las líneas horizontales y $f(x, y) \to -\infty$ en todas las líneas verticales? . Tenemos $f(x, y) = g(\phi(x, y))$ donde:

• $g(u, v) = (u^2-1)^2 + v^2$ tiene dos mínimos globales, pero también un punto crítico adicional en $(0, 0)$ y
• $ \phi(x, y) = ( x , e^y-x^2)$ es un difeomorfismo del plano sobre el conjunto $\{ (u, v) \mid v > -u^2 \}$ . La imagen se elige de forma que contenga los mínimos de la función $g$ pero no su punto crítico.

Con respecto al enfoque de los "lagos conectados": El nivel establece $$ L(z) = \{ (x, y) \mid f(x, y) \le z \} $$ conectar los mínimos $(-1, 0)$ y $(1, 0)$ exactamente si $z > 1$ . El ínfimo de dichos niveles es, por tanto $m=1$ pero $L(1)$ hace no conecta los mínimos (no contiene el eje y). Por lo tanto, este enfoque no conduce a un candidato para un punto crítico.

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El enfoque anterior también se puede utilizar para construir un contraejemplo con derivadas acotadas. Establezca $f(x, y) = g(\phi(x, y))$ con

• $g(u, v) = \frac{(u^2-1)^2}{1+u^4} + \frac{v^2}{1+v^2}$ que tiene dos mínimos globales en $(\pm 1, 0)$ un punto crítico en $(0, 0)$ y derivadas acotadas.
• $\phi(x, y) = (x, \log(1+e^y) +1 -\sqrt{1+x^2} )$ que es un difeomorfismo de $\Bbb R^2$ con derivadas acotadas sobre el conjunto $\{ (u, v) \mid v > 1- \sqrt{1+v^2} \}$ que contiene los puntos $(\pm 1, 0)$ pero no el punto $(0, 0)$ .

Answer 2

Queremos explicar la intuición del PO: en el nivel donde se unen los lagos, existe un punto crítico.

Sea $M$ sea un espacio topológico normal, localmente conectado por caminos y conectado por caminos (como un colector conectado).

Sea $f$ sea una continua mapa correcto $f\colon M \to \mathbb{R}$ . Además, dejemos que $b$ un punto de mínimo local de $f$ y $a\ne b$ tal que $f(a) \le f(b)$ . Entonces existe $c\ne a,b$ que es punto critico de $f$ .

Definición 1.: $c\in M$ es un punto crítico de $f$ si $c$ es un mínimo local de $f$ o para cada $D$ barrio de $c$ el conjunto $D \cap M_{< f(c)}$ no está conectado (piense en un punto de silla de montar).

Definición 2. Los puntos $a$ , $b$ de un espacio topológico $X$ están separados en $X$ si existe una partición de $X$ en subconjuntos abiertos (cerrados) $U$ , $V$ con $a \in U$ , $b\in V$ .

Pasemos a la prueba. Primero, algunas cosas fáciles: considera $U$ un subconjunto abierto $b$ que no contenga $a$ tal que $f(b) \le f(x)$ para todos $x \in U$ . Sea $b \in V$ abierto tal que $\overline V \subset U$ . Si para algún punto $y \in \partial V$ tenemos $f(y) = f(b)$ entonces $y$ vuelve a ser un mínimo local. No permitamos esta posibilidad. Por lo tanto, tenemos $f(x) > f(b)$ para todos $x \in \partial V$ . Tenga en cuenta que $a \in M \backslash \overline V$ y $b \in V$ . Por lo tanto, obtenemos $a$ , $b$ separados en $M_{\le f(b)}$ .

Ahora demostremos : si $a$ , $b$ están separados en $M_{\le t}$ entonces existe $\delta> 0$ tal que $a$ , $b$ separados en $M_{\le t+\delta}$ . En efecto $C\ni a$ , $D\ni b$ cerrada, disjunta, con unión $M_{\le t}$ . Considere $U$ , $V$ subconjuntos abiertos disjuntos, $C\subset U$ , $D\subset V$ . Tenga en cuenta que $f^{-1}(t) \subset U \cup V$ . Desde $f$ es correcto, existe $\delta> 0$ tal que $f^{-1}([t, t+\delta]\subset U\cup V$ . Concluimos que $M_{\le t+\delta} \subset U\cup V$ . Obtenemos una separación de $a$ , $b$ en $M_{\le t+\delta}$ .

Desde $M$ está conectado por un camino, existe $\gamma$ un camino desde $a$ a $b$ . Sea $s= \sup_{\gamma} f$ . Concluimos que $a$ , $b$ están en el mismo componente de $M_{\le s}$ por lo que no se separan en $M_{\le s}$ .

Consideremos el conjunto $$\{ t \in [f(b), \infty) \ | \ a, b \textrm{ separated in } M_{\le t} \}$$

Desde el $s$ anterior en no en el conjunto, concluimos que el conjunto es acotado, por lo que tiene un supremum $t^*$ . Ahora, $t^*$ no está en el conjunto, por lo anterior.

Ahora, tenemos $a$ , $b$ en el subconjunto abierto $M_{< t^*}$ . Puede $a$ , $b$ en el mismo componente? Si lo fueran, tendríamos (¡conectividad local de la trayectoria!) una trayectoria $\eta$ de $a$ a $b$ en $M_{< t^*}$ . Pero eso significaría que $a$ , $b$ no están separados en algunos $M_{\le t^*-\epsilon}$ contradicción.

Por lo tanto, tenemos $U$ , $V$ subconjuntos abiertos disjuntos, $a\in U$ , $b\in V$ , $U\cup V = M_{< t^*}$ .

Ahora, considere $\overline M_{< t^*} \subset M_{\le t^*}$ . Si la inclusión fuera estricta, tendríamos $c \in M_{= t^*}$ que es un mínimo local, hecho.

Supongamos ahora que $\overline M_{< t^*} = M_{\le t^*}$ y así $\overline U \cup \overline V = M_{\le t^*}$ . Los conjuntos $\overline U$ , $\overline V$ no pueden ser disjuntos, ya que entonces tendríamos una separación de $a$ , $b$ en $M_{\le t^*}$ . Entonces $c \in \overline U \cap \overline V$ . Tenemos $f(c) = t^{*}$ y para cada $D$ barrio de $c$ tenemos $D\cap M_{< f(c)} = (D\cap U) \cup (D\cap V)$ . Por lo tanto, $D\cap M_{< f(c)}$ no está conectado. Concluimos que $c$ es un punto crítico.

$\bf{Note:}$ En el ejemplo de @Martin R: $f(x,y) = (x^2-1)^2 + (e^y-x^2)^2$ el conjunto de niveles $f^{-1}(t)$ parece OO para $t \in (0, \frac{1}{2})$ como $\cap \cap$ para $t\in [\frac{1}{2},1]$ y como M para $t > 1$ . Vale la pena entenderlo.