He estado trabajando en el libro de cálculo de Spivak. Actualmente estoy en el capítulo 5: límites.
El problema: probar que si $ f(x)=x$ para $x$ racional y $f(x)=-x$ para $x$ irracional, entonces $\lim_{x \to a }f(x)$ no existe si $a\neq0$ .
Mi solución:
He dividido el límite en dos secuencias $\lim_{x\to a} f(x)= l_1$ donde $x\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ y luego $\lim_{x\to a} f(x)= l_2$ donde $x\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ por lo que si $\lim_{x \to a} f(x)= L$ existe, entonces $l_1=l_2=L$ . El límite debe ser el mismo independientemente de cómo enfoque un.
Ahora:
- Para $x\in \mathbb{Q}$ , tengo que si $0<|x-a|<\delta$ entonces si $\epsilon= \delta$ , $|f(x)-a|<\epsilon$ Así que $l_1=a$
- Para $x\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ , tengo que si $0<|x-a|<\delta$ entonces si $\epsilon= \delta$ , $|x-a|=|-(x-a)|=|f(x)+a|<\epsilon$ Así que $l_2=-a$ .
F $\lim_{x\to a} f(x)$ para existir entonces $l_1=l_2=L$ y eso sólo ocurre para $a=0$ .
¿Es correcto este razonamiento?
