Compruebe la convergencia de $\sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{(\ln\ln n)^{\ln n}}$

Question

Compruebe la convergencia de

$$\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{(\ln \ln n)^{\ln n}}.$$

Por favor verifique mi solución más abajo.

Answer 1

$$\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{(\ln\, \ln\, n)^{\ln\, n}}=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{\exp( \ln\, \ln\ln\, n\,*\ln\,, n)}=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{\exp(\ln\, n\,*\ln\, \ln\, \ln\, n)}=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^{\ln\, \ln\, \ln\, n}}$$

Para una amplia n, $$\frac{1}{n^{\ln\, \ln\, \ln\, n}} < \frac{1}{n^2}$ $

Por lo que la serie converge en comparación prueba

Answer 2

Hay $n_0$ tal que

$$\sum^{\infty}_{n=n_0}\frac{1}{(\ln \ln n)^{\ln n}}<\sum^{\infty}_{n=n_0}\frac{1}{3^{\ln n}}=\sum^{\infty}_{n=n_0}\frac{1}{n^{\ln 3}}$ $ y esto converge desde $\ln 3>1$

Q.E.D.

Answer 3

El uso de la desigualdad $$ \frac{x-1}{x^p}<\ldots<\frac{x-1}{x^2}<\frac{x-1}{x}<\log x , \quad \forall \,x>1, \,\forall p\in\mathbb{N}\barra invertida\{1,0\}. $$ y el hecho de que $\ln$ es una función creciente. Tenemos para $n$ grandes, \begin{align} \left|\frac{1}{\left[\log\big(\log n\big)\right]^{(\log n)}}\right|\leq & \frac{1}{\left|\log\circ\log n\right|^{\big(\frac{n-1}{n^p}\big)}} \\ \leq & \frac{1}{\left|\log\big(\frac{n-1}{n}\big)\right|^{\big(\frac{n-1}{n^p}\big)}} \\ \leq & \frac{1}{\left|\frac{\big(\frac{n-1}{n}\big)-1}{\big(\frac{n-1}{n}\big)}\right|^{\big(\frac{n-1}{n^p}\big)}} \\ = & \frac{1}{\left(\frac{n}{n-1}\right)^{\big(\frac{n-1}{n^p}\big)}} \\ = & \bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^{\frac{n-1}{n^p}} \\ = & \left[\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^{n}\right]^{\frac{1}{n^p}} \\ \end{align} Y por raíz de la prueba, si $a_n= \left[\bigg(1-\frac{1}{n}\bigg)^{n}\right]^{\frac{1}{n^p}}$ hemos $ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{a_n}<1 $ para $p$ enogh grande. Mediante la comparación de la prueba de la serie $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left[\log\big(\log n\big)\right)^{(\log n)}} $$ convergen.