¿Cómo descubrirías el teorema de Stokes?

Question

Sea $S$ sea una superficie lisa orientada en $\mathbb R^3$ con límite $C$ y que $f: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ sea un campo vectorial continuamente diferenciable en $\mathbb R^3$ .

El teorema de Stokes establece que $$\int_C f \cdot dr = \int_S (\nabla \times f) \cdot dA.$$ En otras palabras, la integral de línea de $f$ sobre la curva $C$ es igual a la integral del rizo de $f$ sobre la superficie $S$ . Aquí la orientación del límite $C$ está inducida por la orientación de $S$ .

Pregunta: ¿Cómo pudo alguien deducir o descubrir esta fórmula? ¿De dónde procede esta fórmula?

El objetivo es ofrecer una explicación intuitiva del teorema de Stokes, más que una demostración rigurosa.

(Publicaré la respuesta más abajo).

Answer 1

Una primera simplificación es que en el teorema de Stokes, todo ocurre en la superficie. Así que, en cierto sentido, se trata de un teorema 2D, no 3D. Si nos limitamos a la parametrización en la superficie, el teorema de Stokes es precisamente el teorema de Green.

Entonces: ¿cómo descubrirías el teorema de Green?

Empecemos con un teorema más intuitivo: el teorema de la divergencia. El teorema de la divergencia dice que si tenemos un flujo constante de agua con un montón de fuentes y sumideros, entonces para cualquier volumen $V$ que elijamos, la cantidad neta de agua creada en el interior $V$ es igual a la cantidad neta de agua que fluye a través de la superficie de $V$ .

Espero que la idea que subyace a este teorema sea suficientemente intuitiva, aunque traducirla al lenguaje formal es otra cuestión.

Fíjate ahora en que seguramente existe una versión 2D del teorema de la divergencia, en la que todo el fluir del agua ocurre en el plano. Ese teorema dice que la fuente neta en un zona es igual al flujo neto que atraviesa la curva límite de la zona.

Resulta que éste es precisamente el teorema de Green. Esto es muy poco claro de la forma en que se suele presentar, donde el teorema de Green dice algo así como "la cantidad de swirly en un área es igual a la integral de línea a lo largo de la frontera", signifique lo que signifique.

Afortunadamente, resulta mucho más claro cuando rotamos cada vector del campo vectorial por $90$ grados. Rotando el campo vectorial por $90$ ¡grados convierte cada poco de remolino en un poco de divergencia! Y convierte la integral de línea a lo largo de la curva en el flujo a través de la curva, un concepto mucho más intuitivo.

Si nos fijamos en la declaración, queda más claro. El enunciado habitual es que si tienes un campo vectorial $(L,M)$ entonces tenemos

$$\oint Ldx + Mdy = \iint \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\,dxdy$$

Obsérvese que la rotación por $90$ grados da $(L,M) \mapsto (-M,L)$ por lo que obtenemos

$$\oint Ldy - Mdx = \iint \left(\frac{\partial L}{\partial x} + \frac{\partial M}{\partial y}\right)\,dxdy$$

Vemos la divergencia 2D $\frac{\partial L}{\partial x} + \frac{\partial M}{\partial y}$ a la derecha, y a la izquierda vemos $$Ldy - Mdx = (L,M) \cdot (dy,-dx) = (L,M) \cdot \hat{n},$$ es decir, el flujo a través de la frontera.

Answer 2

El teorema de Stokes surge de la necesidad de comprender el flujo de un campo vectorial a lo largo de una superficie. Exploro varios de sus aspectos, de forma intuitiva, con elementos visuales y enlaces a interactivos, aquí .

Por ejemplo, ¿cómo es posible que el rizo sea cero en todas partes, pero la circulación alrededor de una curva cerrada sea distinta de cero? ¿O por qué la circulación a lo largo de una curva cerrada es independiente de la superficie que la rodea? Estas cuestiones son fundamentales para entender las "leyes de conservación" de la Física, por ejemplo, los campos electromagnéticos.