He intentado responder a esta pregunta por mi cuenta, pero mi solución no es la misma que la de otros que he visto (ellos utilizan el principio archimediano pero yo no), así que quiero ver si mi planteamiento es correcto o no. estoy más seguro de mi respuesta a la parte 1 que de la parte 2.
¿estoy en lo cierto? si no es así, ¿dónde he metido la pata? gracias de antemano por cualquier aclaración.
esta es la cuestión:
$A$ y $B$ son conjuntos acotados y no vacíos, y $C = [a + b: a \in A, b \in B]$ . demostrar que $C$ es un conjunto acotado y que $\sup C = \sup A + \sup B$ y $\inf C = \inf A + \inf B$
esta es mi respuesta:
parte 1: suprema
- deje $\sup A = s$ y $\sup B = t$ por lo que para cada $x \in A, x \leq s$ y para cada $y \in B, y \leq t$
- se deduce que $x + y \leq s + t$ lo que implica que $s + t$ es un límite superior para $C = A + B$
- elija ahora el límite superior $u$ tal que $u \geq s + t$ y arreglar $a \in A$ entonces $u \geq a + t \implies t \leq u - a$ y un razonamiento similar da $s \leq u - b$
- sumando los dos resultados anteriores se obtiene $s + t \leq 2u - a - b \implies a + b \leq 2u - s - t$
- se deduce que $u \leq 2u - s - t$ pero recuerda que $u \geq s + t$ así que..:
$$a + b \leq s + t \leq u \leq 2u - s - t$$
- y nuestro resultado de interés es $a + b \leq s + t$ lo que implica que $\sup C = \sup A + \sup B$
parte 2: infima
- ahora $\inf A = s$ y $\inf B = t$ por lo que para cada $x \in A, x \geq s$ y para cada $y \in B, y \geq t$
- uniendo la información anterior se obtiene $x + y \geq s + t$ lo que implica que $s + t$ es un límite inferior para $C$
- elija ahora un límite inferior $l$ tal que $l \leq s + t$ y arreglar $a \in A$ lo que implica $t \geq l - a, s \geq l - b$
- sumando los resultados anteriores nos da: $s + t \geq 2 \cdot l - a - b \implies a + b \geq 2 \cdot l - s - t$
- también sabemos que $l \geq 2 \cdot l - s - t$ lo que implica:
$$a + b \geq s + t \geq l \geq 2 \cdot l - s - t$$
- nuestro resultado de interés es $a + b \geq s + t$ que nos dice que $\sup C = \sup A + \sup B$ $\blacksquare$
