Considere la función $f(x)=a_0x^2$ para algunos $a_0\in \mathbb{R}^+$ . Toma $x_0\in\mathbb{R}^+$ de modo que la longitud de arco $L$ entre $(0,0)$ y $(x_0,f(x_0))$ es fijo. Dada una $a_1$ ¿cómo se encuentra el punto $(x_1,y_1)$ para que la longitud del arco sea la misma?
Esquemáticamente,
En otras palabras, estoy buscando una función $g:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ , $g(a_0,a_1,x_0)$ que toma un coeficiente cuadrático fijo inicial $a_0$ y punto y devuelve el punto correspondiente después de "enderezarlo" mediante el nuevo coeficiente $a_1$ manteniendo la longitud del arco con respecto a $(0,0)$ . Tenga en cuenta que el $y$ las coordenadas vienen dadas simplemente por $y_0=f(x_0)$ y $y_1=a_1x_1^2$ . ¿Alguna idea?
Mi enfoque: Sabiendo que el la longitud del arco viene dada por $$ L=\int_0^{x_0}\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx=\int_0^{x_0}\sqrt{1+(2a_0x)^2}\,dx $$ podemos utilizar la conservación de $L$ escribir $$ \int_0^{x_0}\sqrt{1+(2a_0x)^2}\,dx=\int_0^{x_1}\sqrt{1+(2a_1x)^2}\,dx $$ que resolvemos para $x_1$ . Esto funciona, pero no es muy rápido computacionalmente y sólo se puede hacer numéricamente (creo), ya que $$ \int_0^{x_1}\sqrt{1+(2a_1x)^2}\,dx=\frac{1}{4a_1}\left(2a_1x_1\sqrt{1+(a_1x_1)^2}+\arcsin{(2a_1x_1)}\right) $$ ¿Alguna idea sobre cómo hacerlo de forma más eficaz? ¿Quizás utilizando las líneas tangentes de la parábola?
En general , para longitudes de arco fijas, supongo que mi pregunta realmente es cuáles son las expresiones de las siguientes curvas rojas para longitudes de arco fijas:
Además, ¿podría determinarse para cualquier $f$ ?
Edita: Curiosamente, encontré este clip de 3Blue1Brown. El punto de origen no es fijo como en mi caso, pero me pregunto cómo se hizo la animación (no pude encontrar el vídeo original, sólo un clip, pero aquí está el enlace )
Para cualquier Mathematica entusiastas, también se está debatiendo una implementación computacional del efecto de enderezamiento aquí con algunas aplicaciones.
