Cálculo de una norma dual

Question

I cálculo de la norma dual $ \|v\|_\ast = \sup_{\|x\|\leq1} \langle v, x\rangle $ .

Por ejemplo, yo proceso así: $x_1 = (2, 1); x_2 = (5, 10); x_3 = (8, 10)$ . Como norma de $x$ debe ser $\|x\| \leq 1$ , normalicé los vectores y obtengo esto : $ x_1 = (2/\sqrt{5}, 1/\sqrt{5}); x_2 = (5/\sqrt{125}, 10/\sqrt{125}); x_3 = (8/\sqrt{164}, 10/\sqrt{164}) $ .

Cómo elegir $v$ para hacer el cálculo? La norma de $v$ también debe ser inferior o igual a $1$ ? Después del cálculo, no creo que tenga un intervalo para poder hallar el supremum, de ahí mi pregunta de ¿cómo hallar el supremum? En otros manuales, también veo $\|v\|_\ast = \max_{\|x\|\leq1} \langle v, x\rangle $ . ¿Cuál es la fórmula buena?

Answer 1

Supongo que estás utilizando el producto interior habitual en ${\mathbb R}^2$ y que tu $\mathbf{x_1}, \mathbf{x_2}$ y $\mathbf{x_3}$ son todos los vectores que $v$ para que la pregunta "encontrar $\|v\|_*$ " para que tenga sentido.

Entonces, por definición de la norma dual, tenemos $$\|v\|_* = \sup_{\|x\|\leq 1} |v(x)| = \sup_{\|x\|\leq 1} |\langle v,x\rangle| $$ donde la definición del producto interior es $$\langle v,x\rangle = v_1\cdot x_1 + v_2\cdot x_2 $$

$x_1$ y $x_2$ aquí sin en negrita son los componentes de $x$ . Tomando $v=\mathbf{x_1}$ tenemos que $(v_1, v_2) = (2,1)$ por lo que necesitamos encontrar $$ \sup_{\|x\|\leq 1} |2\cdot x_1 + 1\cdot x_2| $$ Por inspección vemos que se maximiza cuando $x_1 =1$ y $x_2=0$ (tenga en cuenta que $\|x\| = \sqrt{(x_1^2+x_2^2 )} = \sqrt{1^2+0^2}=1$ ) y así obtenemos $$ \|v\|_* = 2 $$ Ahora deberías poder hacer los otros dos vectores sustituyendo en $v=\mathbf{x_2}$ y $v=\mathbf{x_3}$ e identificando el máximo.