¿Todos los algoritmos conocidos que generan infinitamente muchos números transcendental como Gelfond-Schneider o Liouville sólo generan numerable muchos? ¿Si uncountably muchos, es este conjunto de medida cero?
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Oli
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El Liouville procedimiento genera continuo-muchos. Mientras las brechas entre los sucesivos $1$'s crecer lo suficientemente rápido, tenemos un trascendental número.
Tomar cualquier Liouville de tipo trascendental número, con $1$s'en la posición $p_n$, e $0$'s en otros lugares. Podemos modificar esta en $2^\omega$ muchas maneras, por decidir para cada $n$ si o no a cambio de la $1$ en la posición $p_n$ a la posición $p_n+1$.
En el ejemplo anterior, un muy flojo noción de "algoritmo" se ha usado. Si te refieres algoritmo en un sentido formal, como en una máquina de Turing algoritmo, entonces hay sólo countably muchas máquinas de Turing, y por lo tanto sólo countably muchos algoritmos definibles números.
Matthew Scouten
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Aquí hay un "método" para generar todos trascendental números en el intervalo de $(0,1)$. Por supuesto, tal cosa no puede ser un algoritmo, se debe involucrar a countably muchas opciones arbitrarias. Vamos $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ ser una secuencia que se ejecuta a través de todos los números algebraicos en $(0,1)$ (tales cosas son lo suficientemente fácil como para generar de forma explícita, pero por razones de brevedad voy a asumir que es dado). Para cada una de las $n$ elegir un entero positivo $m_n$ tal que $m_{n+1} > m_n$. Ahora tomar cualquier secuencia de enteros positivos $b_n$ con la restricción de que si $m_j = n$ algunos $j$ y la simple continuación de la fracción de la representación de $a_j$ es $1/(c_1 + 1/(c_2 + \ldots ))$ (con al menos $n$ elementos), las n-tuplas $[c_1, \ldots, c_n]$ $[b_1, \ldots, b_n]$ son diferentes. Por lo tanto hay más de un posible excluido valor para cada una de las $b_n$. Por último, tome $x$ a ser el número con la continuación de la fracción representación $1/(b_1 + 1/(b_2 + \ldots)$. Es fácil ver que $x$ será un trascendental número en $(0,1)$ y que el $x$ puede ser generado para una elección adecuada de las secuencias de $m_n$$b_n$.
