Demostrar que para cada número real $x$ si $|x − 3| > 3$ entonces $x^2 > 6x$ .

Question

Este es el ejercicio 3.5.10 de Velleman:

Demostrar que para cada número real $x$ si $|x 3| > 3$ entonces $x^2 > 6x$ .

Y aquí está mi prueba de ello:

Pruebas. Supongamos $|x 3| > 3$ . Consideremos ahora dos casos:

Caso 1. $x - 3 \ge 0$ . Entonces $|x 3| = x - 3$ por lo que tenemos $x - 3 > 3$ y, por lo tanto $x > 6$ . Desde $x > 6$ y positivo, entonces multiplicando la desigualdad por $x$ obtenemos $x^2 > 6x$ .

Caso 2. $x - 3 < 0$ . Entonces $|x 3| = 3 - x$ por lo que tenemos $3 - x > 3$ y, por lo tanto $x < 0$ . Restando 3 a ambos lados de la desigualdad $x < 0$ obtenemos $x - 3 < -3$ . Multiplicando la desigualdad por ( $x - 3$ ), obtenemos $x^2 - 6x + 9 > -3x + 9$ y por lo tanto $x^2 > 3x$ .

Ya que por uno de los casos tenemos $x^2 > 6x$ entonces $|x 3| > 3$ $\Rightarrow$ $x^2 > 6x$ .

¿Es válida mi prueba?

Gracias de antemano.

Answer 1

Su prueba está incompleta: debería demostrar en AMBOS casos que $x^2>6x$ . Así, en el caso 2, cuando $x<0$ al final, basta con sya que "y por lo tanto $x^2>3x>6x$ ".

Sin embargo, hay un camino mucho más corto que recomiendo encarecidamente. Desde $|x − 3|$ y $3$ son ambas no negativas, la desigualdad $|x − 3| > 3$ es equivalente a $|x-3|^2>3^2$ . Por lo tanto $$0<(x-3)^2-9=(x^2-6x+9)-9=x^2-6x$$ y hemos terminado.