¿Por qué esta serie converge a $\ln(\pi/4)$ ?

Question

Me encontré con esta afirmación sobre esta serie de potencias de números primos: $$\sum_{p \in\mathbb P} \sum_{k \in \mathbb N} \frac{1}{k}\frac{\chi(p^k)}{p^k} = \ln\left(\frac\pi4\right)$$ donde $\mathbb P$ es el conjunto de los primos, $\chi(n)$ se define como $0$ si la entrada es par, $-1$ si $n$ es congruente con $3$ modulo $4$ y $1$ si $n$ es congruente con $1$ . No he visto ninguna prueba de esto, pero tomando la suma de todos los $p^k \leq 1,000,000$ coincide con los cuatro primeros dígitos, así que me parece probable.

Esto se dijo en relación con la famosa serie $\sum_{n \in \mathbb N} \frac{\chi(n)}{n} = \frac\pi4$ por lo que supongo que existe alguna relación entre la transformación del lado izquierdo y la obtención del logaritmo del lado derecho.

¿Hay algo en esta conexión? ¿O algún otro argumento de por qué esta serie converge al valor dado? ¿O es que está muy cerca y me han gastado una broma?

Answer 1

No es una prueba completa, pero mostrará la relación.

$\chi(n)$ es una función completamente multiplicativa ( $\chi(ab)=\chi(a)\chi(b),)$ por lo que si define $$f(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s},$$ $f$ se puede factorizar:

$$f(s)=\prod_p \sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{\chi(p)}{p^{s}} \right)^k=\prod_{p} \frac{1}{1-\chi(p)p^{-s}}$$

Así que $$\ln f(s)=-\sum_{p} \log(1-\chi(p)p^{-s})$$

A continuación, utilice la serie de potencias para $\log(1-\chi(p)p^{-s})$ cuando $s=1.$

Puede haber alguna dificultad con la transformación en serie, porque las sumas cuando $s=1$ no convergen absolutamente. Pero ésta es la fuente fundamental de la relación. Todo funciona cuando $\operatorname{Re}s>1,$ ya que entonces todo converge absolutamente.

Así que $$\ln(f(s))=\sum_p\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\chi(p^k)}{kp^{sk}}$$ cuando $\operatorname{Re}s>1,$ pero no estoy seguro de lo que necesita para $s=1.$