Demuestra que este mapa es una inmersión (revisa mi trabajo por favor)

Question

Hay algunos cálculos pero sería muy agradecido si alguien pudiera comprobar si mis argumentos son matemáticamente sólidos. Soy nuevo en geometría diferencial. También puede sugerir soluciones más sencillas.

En el siguiente,

$S_3$ denota la 3-esfera en $\mathbb{C}^2$ : { $(x,y)\in \mathbb{C}^2 \space : \space |x|^2+|y|^2=1$ }

y $\Omega=$ { $(x,y) \in S_3 \space | \space x^5+y^7 \neq0$ }

Sea $f:\Omega\rightarrow S_1$ sea tal que

$f(x,y)=\frac{x^5+y^7}{|x^5+y^7|}$

Demostrar que $f$ es una inmersión.

Prueba :

Demostraré que el diferencial de $f$ es un mapa suryectivo entre espacios tangentes.

$f$ claramente no es analítica, pero debería ser suave como función de las partes real e imaginaria de $x$ y $y$ (¡que aquí son números complejos!).

Sea $dx$ y $dy$ ser números complejos "pequeños" (es decir, partes real e imaginaria pequeñas).

$f(x+dx,y+dy)=\frac{(x+dx)^5+(y+dy)^7}{|(x+dx)^5+(y+dy)^7|}=\frac{x^5+y^7+5dx+7dy+o(dx,dy)}{|x^5+y^7|.|1+\frac{5dx+7dy}{x^5+y^7}|}$

Ahora, utilizando $|z|=(z \bar z)^{1/2}$ Lo entiendo:

$$\color{red}{|1+\frac{5dx+7dy}{x^5+y^7}|^{-1}}=(1+\frac{5dx+7dy}{x^5+y^7})^{-1/2}(1+\overline{\frac{5dx+7dy}{x^5+y^7}})^{-1/2}=(1-\frac12 \frac{5dx+7dy}{x^5+y^7})(1-\frac12 \overline{\frac{5dx+7dy}{x^5+y^7}})+o(dx,dy)=1-\frac12 \frac{5dx+7dy}{x^5+y^7}-\frac12\overline{\frac{5dx+7dy}{x^5+y^7}}+o(dx,dy)=\color{red}{1-\Re(\frac{5dx+7dy}{x^5+y^7})+o(dx,dy)}$$

Así que..,

$$\color{lime}{f(x+dx,y+dy)}=\frac{x^5+y^7+5dx+7dy+o(dx,dy)}{|x^5+y^7|}(1-\Re(\frac{5dx+7dy}{x^5+y^7})+o(dx,dy))=\color{lime}{\frac{x^5+y^7+5dx+7dy}{|x^5+y^7|}-\frac{x^5+y^7}{|x^5+y^7|}\Re(\frac{5dx+7dy}{x^5+y^7})+o(dx,dy)}$$

Así que identificando las partes lineales, el diferencial de $f$ (considerada como una función real de las partes real e imaginaria de $x$ y $y$ (¡no complejo!) es:

$$\color{blue}{d_{(x,y)}f(dx,dy)} = \frac{5dx+7dy}{|x^5+y^7|}-\frac{x^5+y^7}{|x^5+y^7|}\Re(\frac{5dx+7dy}{x^5+y^7})$$

$$=\frac12 \frac{5dx+7dy}{|x^5+y^7|}-\frac12 \frac{x^5+y^7}{|x^5+y^7|} \overline{\frac{5dx+7dy}{x^5+y^7}}$$

$$=\frac{1}{2|x^5+y^7|}(5dx+7dy-(x^5+y^7) \overline{\frac{5dx+7dy}{x^5+y^7}})$$

$$=\frac{x^5+y^7}{2|x^5+y^7|}(\frac{5dx+7dy}{x^5+y^7}-\overline{\frac{5dx+7dy}{x^5+y^7}})$$

$$=\frac{x^5+y^7}{2|x^5+y^7|}2i \Im(\frac{5dx+7dy}{x^5+y^7})$$

$$\color{blue}{=i\frac{x^5+y^7}{|x^5+y^7|}\Im(\frac{5dx+7dy}{x^5+y^7})}$$

$$\color{blue}{=if(x,y)\Im(\frac{5dx+7dy}{x^5+y^7})}$$

(así que para esta función considero la diferenciabilidad como en $\mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^2$ ya que en cada una de mis variables "complejas" oculto en realidad dos variables : la parte real y la parte imaginaria)

Así que ahora sólo tengo que demostrar que esto constituye una suryección de $T_{(x,y)}\Omega \rightarrow T_{f(x,y)}S_1$

Tenemos que si $\theta$ es una función real regular, entonces si $z(t)=e^{i\theta(t)}$ , $z'(t)=i\theta'(t)e^{i\theta(t)}$ con $\theta'(t) \in \mathbb{R}$ por lo que el plano tangente a $z$ de $S_1$ es sólo $T_zS_1=$ { ${i \lambda z, \lambda \in \mathbb{R}}$ }

Con el mismo razonamiento en dimensión superior, $T_{(x,y)}\Omega =$ { $(i\lambda z, i\mu y), \lambda, \mu \in \mathbb{R}$ }

En $dx, dy$ span $T_{(x,y)}\Omega$ , $df$ abarca claramente $T_{f(x,y)}S_1$ ya que sólo podemos identificar $\lambda =\Im(\frac{5dx+7dy}{x^5+y^7})$ que debe abarcar $\mathbb{R}$ Supongo que como $dx, dy$ variar. Entonces la diferencial es una suryección entre los planos tangentes y por lo tanto $f$ es una inmersión. $\square$

¿Le parece bien mi prueba?

Answer 1

Repasando ese cálculo... el diferencial de $x^5+y^7$ es $5x^4\,dx+7y^6\,dy$ . Se le cayó el $x^4$ y $y^6$ factores allí, en múltiples lugares.

Ahora, ¿la buena noticia? La forma en que organizó sus cálculos, esto es muy fácil de arreglar. Simplemente podemos sustituir cada instancia de " $5\,dx+7\,dy$ " con " $5x^4\,dx+7y^6\,dy$ "y seguirá siendo correcto. El diferencial final es $$df\cdot (dx,dy) = if(x,y)\operatorname{Im}\left(\frac{5x^4\,dx+7y^6\,dy}{x^5+y^7}\right)$$ En la esfera, $|f(x,y)| = 1$ . Para que este diferencial abarque el espacio tangente unidimensional de $S^1$ basta con encontrar alguna opción de $dx$ y $dy$ en el espacio tangente a $S^3$ para que la parte imaginaria sea distinta de cero. ¿Qué es ese espacio tangente? $$|x|^2+|y|^2 = x\cdot \overline{x}+y\cdot \overline{y} = 1$$ $$\overline{x}\,dx+x\,\overline{dx}+\overline{y}\,dy+y\,\overline{dy} = 0$$ El espacio tangente es precisamente el conjunto de soluciones de esta ecuación lineal, en lo que equivale a cuatro variables. No es sólo lo que has escrito $\{(i\lambda z,i\mu y)\}$ ese es el espacio tangente al toroide $S^1\times S^1$ . Copias a escala de ese $2$ -en la esfera, pero hay otra dimensión en la que $|x|$ y $|y|$ pueden variar.

Muy bien, ¿qué hace falta para encontrar algo en el espacio tangente cuya parte imaginaria sea distinta de cero? Establecer $(dx,dy)=\left(\frac15ix,\frac17iy\right)$ Así que $$\overline{x}\,dx+x\,\overline{dx}+\overline{y}\,dy+y\,\overline{dy} = \frac15i|x|^2 -\frac15i|x|^2+\frac17i|y|^2-\frac17i|y|^2=0$$ $$\frac{5x^4\,dx+7y^6\,dy}{x^5+y^7} =\frac{ix^5+iy^7}{x^5+y^7}=i$$ La primera línea verifica que esta elección está efectivamente en el espacio tangente, y la segunda línea verifica que la parte imaginaria que obtenemos de ella es distinta de cero. Todo esto es válido siempre que estemos en la esfera y el denominador $x^5+y^7$ es distinto de cero, por lo que todo $\Omega$ .