Integral de las semifinales del MIT Integration Bee 2023 - $\int_{0}^{\infty} \frac{\tanh(x)}{x\cosh(2x)}\,\textrm{d}x$

Question

Esta pregunta es de la Semifinal 2 del MIT Integration Bee 2023 y es la Pregunta 3. El objetivo es mostrar $$\int_{0}^{\infty} \frac{\tanh(x)}{x\cosh(2x)}\,\textrm{d}x = \log(2)$$

Lo ideal es hacerlo en tres minutos o menos. Algo que intenté hacer al principio fue el truco de Feynman, pero me encontré con una cancelación al intentar evaluar $$I^\prime(t) = \int_{0}^{\infty} \operatorname{sech}^2(tx)\operatorname{sech}(2x)\,\textrm{d}x$$ en que obtendría algo parecido a $I^\prime(t) = -I^\prime(t)$ al final. ¿Es correcto mi planteamiento, o hay algo que me permita ignorar las funciones hiperbólicas?

Answer 1

Nota $$ \frac{\tanh(x)}{\cosh(2x)}=\frac2{1+e^{2x}}-\frac2{1+e^{4x}}. $$ Sea $$ f(x)=\frac2{1+e^{x}} $$ y luego $$\int_{0}^{\infty} \frac{\tanh(x)}{x\cosh(2x)}\,\textrm{d}x =\int_0^\infty\frac{f(2x)-f(4x)}x\,\textrm{d}x=(f(\infty)-f(0))\ln(\frac24)=\ln2 $$ por Integral de Frullani