Problema sobre conjuntos $F_\sigma$ y $G_\delta$

Question

Define un conjunto como bivalente si es tanto $F_\sigma$ como $G_\delta$.

Sea $X$ un espacio $G_\delta$ (es decir, todos los conjuntos cerrados son conjuntos $G_\delta$).

Sean $G$ y $H$ conjuntos $G_\delta$ disjuntos.

Demuestra que existe un conjunto bivalente $B$ disjunto de $H$, tal que $G\subset B$.

Nota: si el ejercicio solo pedía que $B$ fuera un conjunto $F_\sigma$, la demostración sería inmediata (basta con tomar el complemento de $H$, que es un conjunto $F_\sigma$).

Answer 1

Las propiedades de separación como la mencionada anteriormente se estudian in extenso en Teoría de Conjuntos Descriptiva (DST). Permítanme fijar algunas notaciones. Si $\Gamma$ es una clase de subconjuntos de espacios topológicos, $\check\Gamma$ representa los complementos de conjuntos en $\Gamma$ y $\Delta := \Gamma \cap \check\Gamma$ representa la clase ambigua.

Una observación en DST establece que bajo ciertas hipótesis, si cada unión $A\cup B$ de conjuntos en $\Gamma$ puede ser reducida (escrita como una unión disjunta de conjuntos más pequeños respectivamente, también en $\Gamma$), entonces $\check\Gamma$ tiene la propiedad de separación: conjuntos disjuntos en $\check\Gamma$ pueden ser separados por conjuntos en $\Delta$. Estos resultados se establecen en DST para espacios metrizables, pero para $\Gamma = F_\sigma$ sobre espacios $G_\delta$ esto funciona. Consulta el libro de Kechris para más información al respecto.

Por lo tanto, mostraré que una unión de conjuntos $F_\sigma$ puede ser reducida, y esto implica fácilmente tu ejercicio. Fija dos conjuntos $F_\sigma$ escritos como uniones crecientes $$ A = \textstyle\bigcup_h A_h \qquad B = \bigcup_n B_n $$ donde $A_h,B_n$ son cerrados. La observación clave es que

la diferencia de dos conjuntos cerrados es un conjunto $F_\sigma$.

Luego podemos escribir $A\cup B$ como $$ \underline{B_0} \cup (A_0\setminus B_0) \cup \underline{(B_1\setminus A_0)} \cup (A_1 \setminus B_1) \cup \underline{(B_2\setminus A_1)} \cup\cdots $$ La unión $B^*$ de los conjuntos subrayados (sombrados en la imagen de arriba) es disjunta de la unión $A^*$ del resto, y ambos son conjuntos $F_\sigma$ que satisfacen $$ A^*\subseteq A\qquad B^* \subseteq B\qquad A^* \cup B^* = A\cup B. $$ Al tomar $A:= X\setminus G$ y $B:=X\setminus H$ arriba, hemos terminado.