Estoy leyendo el quinto capítulo de "An introduction to extremal Kaehler metrics" de Gabor Szekelyhidi. Al principio de ese capítulo, el autor describe los mapas de momentos y la acción hamiltoniana. He aquí una breve descripción: Supongamos que un grupo Lie conectado $G$ actúa sobre una variedad de Kaehler $M$ preservando la forma Kaehler $\omega.$ La derivada de la acción da lugar a un mapa del álgebra de Lie
$$ \rho: \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{X}(M)$$
Dónde $\mathfrak{g}$ es el álgebra de Lie de $G$ et $\mathfrak{X}$ es el álgebra de campos vectoriales sobre $M.$ Entonces la acción de $G$ en $M$ se dice que es Hamiltoniano si existe un $G-$ mapa equivariante
$$ \mu: M \rightarrow \mathfrak{g}^{*} $$
tal que para cualquier $\xi \in \mathfrak{g}$ la función $\langle\mu, \xi\rangle$ es una función hamiltoniana para el campo vectorial $\rho(\xi):$
$$ d\langle\mu, \xi\rangle = -\iota_{\rho(\xi)} \omega. $$
Me quedé atascado con el siguiente ejercicio: Sea $M_n$ sea el conjunto de $n \times n$ matrices complejas dotadas de la métrica euclidiana bajo la identificación $M_n=\mathbb{C}^{n^2}.$ Las matrices unitarias $U(n)$ actuar $M_n$ por conjugación, preservando esta métrica. Es decir $A \in U(n)$ actos de $M \mapsto A^{-1}MA.$ Buscar un momento en el mapa $\mu: M_n \rightarrow \mathfrak{u}(n)^{*}.$ Hasta ahora, sólo he notado que si $n=1$ entonces la acción de $U(1)$ por conjugación sobre número complejo es la acción trivial, ¿cuál será entonces el mapa de momento? Intento ver qué ocurre también en dimensión 2. Sé que $\mathfrak{u}(2)$ está generada por matrices skew-hermitianas, por lo que toda matriz skew-hermitiana puede diagonalizarse y los valores propios deben ser imaginarios puros. ¿Cómo encontrar un mapa de momentos en este caso?
