Ejemplo de Anillos de Cociente

Question

Tengo un campo = $F_2$ y un polinomio $x^2 + x + 1$ sobre ese campo.

Entiendo que dado que el polinomio es de grado 2, no tiene raíz en $F_2$, por lo que es irreducible. Pero ¿por qué es $F_2[X]/(x^2+x+1)$ un campo con 4 elementos? (0, 1, x, x+1)

También, cuando hago la tabla de multiplicación de los elementos, ¿por qué es xx = (x+1) y por qué es x(x+1) = 1?

Answer 1

$\newcommand{\FF}{\mathbb{F}}$ Concretamente, el campo tiene una presentación explícita como clases de equivalencia de polinomios en $F := \FF_2[x]$ módulo la relación: $f(x)\equiv g(x)$ si $f(x)-g(x)\equiv 0\mod x^2+x+1$.

Es claro que $0,1,x,x+1$ son elementos inequivalentes de $F$. Por otro lado, cualquier otro elemento es un polinomio de grado al menos 2, y por lo tanto empieza con $x^n + \cdots$. Pero módulo $x^2+x+1$, se sabe que $x^2 \equiv -x-1 \equiv x+1$. Esto es porque en $\FF_2$, $-1 = 1$, y así $$x^2 - (x+1) = x^2 - x - 1 = x^2 + (-1)x + (-1) = x^2 + x + 1\equiv 0 \mod x^2+x+1$$ Esto muestra que $x^2 - (x+1)\equiv 0\mod x^2+x+1$, y por lo tanto $x^2\equiv x+1\mod x^2+x+1$.

Así, cualquier polinomio que comience con $x^n + \cdots$ es equivalente a $x^{n-2}(x+1) + \cdots$ módulo $x^2+x+1$, que tiene grado $n-1$. Por inducción, esto muestra que cualquier polinomio de grado al menos 2 es equivalente a uno con grado menor a 2. Esto muestra que $0,1,x,x+1$ son un conjunto completo de representantes para los elementos de $F$.

Como ejemplo, considera $f = x^3+x^2+x+1$. Usando $x^2 \equiv x+1$, se tiene $$f \equiv x(x+1) + (x+1) + x + 1 = x^2 + x + x + 1 + x + 1 = x^2 + x \equiv (x+1) + x\equiv 1\mod x^2+x+1$$

Answer 2

Si $K$ es un campo y $f \in K[X]$ es irreducible, entonces $L=K[X]/(f)$ tiene grado $2$ sobre $K$. Si $K$ tiene $2$ elementos, entonces $L$ tiene $2^2=4$ elementos.

En $L=F_2[X]/(X^2+X+1)$, ciertamente tenemos $0,1,x$, y estos son todos diferentes. Como es un anillo, $x+1$ también está ahí, y no puede ser uno de los otros. Por lo tanto, todos los cuatro elementos son $0,1,x,x+1$.

En $L$, tenemos $x^2=-x-1=x+1$ porque $L$ tiene característica $2$.

Finalmente, $x(x+1)=x^2+x=x+1+x=2x+1=1$, por la misma razón.