Suma trigonométrica de tipo $\sum^{n}_{k=1}\cos^{n}(k\theta)$

Question

Hallar la suma de $$\sum^{1007}_{k=1}\left(\cos \left(\frac{k\pi}{2007}\right)\right)^{2014}$$

$\bf{Attempt:}$ Con la ayuda de $\displaystyle \cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ y sustituir $\displaystyle \frac{\pi}{2007} = \theta$

$$\sum^{1007}_{k=1}\left(\cos k\theta\right)^{2014} = \sum^{1007}_{k=1}\bigg(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\bigg)^{2014}$$

Alguien podría ayudarme a solucionarlo, gracias

Answer 1

Daré una solución para el caso en que el denominador sea $1007$ como se señala en los comentarios (en mi opinión, el valor de $2007$ es una errata).

Vas por buen camino. Aplicar $\displaystyle \cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\,\,\,$ y ajuste $z=e^{\frac{\pi i}{1007}}\,$ nosotros obtenemos que la suma es equivalente a

$$ \sum^{1007}_{k=1}\bigg(\frac{z^{k}+z^{-k}}{2}\bigg)^{2014}\\ = \frac{1}{2^{2014}} \sum^{1007}_{k=1}\bigg(z^{k}+z^{-k}\bigg)^{2014} $$

Expandiendo este último término mediante el teorema del binomio, obtenemos

$$ \frac{1}{2^{2014}} \sum^{2014}_{i=0} \sum^{1007}_{k=1} \binom{2014}{i} \bigg[z^{k(2014-i)}z^{-ki} \bigg] \\ = \frac{1}{2^{2014}} \sum^{2014}_{i=0} \sum^{1007}_{k=1} \binom{2014}{i} (z^w)^k $$

donde $i=0,1,2...2014 \,\,\,\,$ y $w= 2014-2i \,\,\,\,$ . Teniendo en cuenta que $z^{2014}=1\,\,$ Obsérvese ahora que la cantidad $ \sum^{1007}_{k=1} (z^w)^k \,\, $ es igual, para $z^w \neq 1\,\,$ a una suma de las raíces de la unidad en el plano complejo, homogéneamente espaciadas alrededor del círculo unitario. Por tanto, sólo es diferente de a cero cuando $z^w=1\,\,$ . Esto ocurre para $i=0\,\,$ , $i=1007\,\,$ et $i=2014\,\,$ . Por lo tanto, calculando las sumas sólo para estos valores de $i$ obtenemos

$$ \frac{1}{2^{2014}} \left[1017+1017 \binom{2014}{1017}+1017 \right] \\ =\frac{1007}{2^{2014}} \left[2+\binom{2014}{1017}\right] \approx 17.9013... $$

Este resultado numérico para la suma inicial indicada en el PO se confirma con WA aquí .