¿Por qué una función exponencial acaba siendo mayor que una cuadrática?

Question

He visto la respuesta a esta pregunta y éste .

Mi $7$ hijo de tercer curso tiene esta pregunta en sus deberes:

¿Cómo sabes que una expresión exponencial será finalmente mayor que cualquier expresión cuadrática?

Puedo explicarle para cualquier ejemplo particular como $3^x$ vs. $10 x^2$ que puede simplemente probar diferentes valores enteros de $x$ hasta que encuentre uno, por ejemplo $x=6$ . Pero, ¿cómo puede un $7$ a entender que siempre será verdad, incluso $1.0001^x$ acabará siendo mayor que $1000 x^2$ ? Es evidente que no conocen el teorema del binomio, las derivadas, las series de Taylor, la regla de L'Hopital, los límites, etc,

Nota: así está planteado el problema, no dice que la base de la expresión exponencial tenga que ser mayor que $1$ . Aunque para base entre $0$ y $1$ sigue siendo cierto que existe algún $x$ donde la exponencial es mayor que la cuadrática, la frase "eventualmente" hace que suene como si hubiera algún $M$ donde es mayor para todos $x>M$ . Así que no me gusta cómo está redactada la pregunta.

Answer 1

Desplazando y reescalando, puedes convertir cualquier comparación de una cuadrática frente a una exponencial en una estándar. Digamos que estás intentando determinar cuál de $f(x) = \alpha(x-\beta)^2$ y $g(x) = ab^x$ crece más rápido. Al cambiar $x\rightarrow x+\beta$ puede convertir esto en una comparación de $f_{1}(x) = \alpha x^2$ y $g_{1}(x) = a' b^x$ . Entonces, reescalando $x\rightarrow c x$ donde $b^c = 2$ convierte la comparación en $f_2(x) = \alpha' x^2$ y $g_2(x) = a'' 2^x$ .

Así que mientras puedas convencer a tu hijo de que $2^x$ crece más rápido que $a x^2$ todas las demás exponenciales también deben crecer más rápido que todas las demás cuadráticas.

Answer 2

Podemos mostrar un resultado más general: un exponencial (creciente) crece más rápido que cualquier potencia. Eventualmente,

$$a^x>x^b.$$

En efecto, tomando el logaritmo, esto equivale a

$$x\log a>b\log x$$

o

$$\frac x{\log x}>\frac b{\log a}.$$

El LHS es una función no limitada y el RHS una constante. (Para $x>e$ ,

$$\frac{ex}{\log ex}=e\frac{x}{\log x+1}=e\frac{\log x}{\log x+1}\frac{x}{\log x}\ge\frac e2\frac{x}{\log x}.)$$