¿Por qué una función exponencial acaba siendo mayor que una cuadrática?

Question

He visto la respuesta a esta pregunta y éste .

Mi $7$ hijo de tercer curso tiene esta pregunta en sus deberes:

¿Cómo sabes que una expresión exponencial será finalmente mayor que cualquier expresión cuadrática?

Puedo explicarle para cualquier ejemplo particular como $3^x$ vs. $10 x^2$ que puede simplemente probar diferentes valores enteros de $x$ hasta que encuentre uno, por ejemplo $x=6$ . Pero, ¿cómo puede un $7$ a entender que siempre será verdad, incluso $1.0001^x$ acabará siendo mayor que $1000 x^2$ ? Es evidente que no conocen el teorema del binomio, las derivadas, las series de Taylor, la regla de L'Hopital, los límites, etc,

Nota: así está planteado el problema, no dice que la base de la expresión exponencial tenga que ser mayor que $1$ . Aunque para base entre $0$ y $1$ sigue siendo cierto que existe algún $x$ donde la exponencial es mayor que la cuadrática, la frase "eventualmente" hace que suene como si hubiera algún $M$ donde es mayor para todos $x>M$ . Así que no me gusta cómo está redactada la pregunta.

Answer 1

Quizá siga siendo mejor trabajar en un ejemplo concreto: $1.0001^x$ vs. $1000x^2$ es buena.

¿Puedes demostrar que puedes encontrar $x_0$ de modo que la relación de $\frac{1000(x+1)^2}{1000x^2}$ se hace más pequeño que, digamos, $1.00005$ para todos $x\ge x_0$ ? Esta relación es $(1+\frac{1}{x})^2$ y quizás se podría intentar resolver la desigualdad $1+\frac{1}{x}\le\sqrt{1.00005}$ . (Utilice la calculadora para calcular este último - se obtiene que $x\ge x_0\approx 40,000.5$ funcionaría).

Ahora, a partir de ese punto, $1.0001^x$ puede seguir siendo minúsculo en comparación con $1000x^2$ pero siempre que $x$ crece en $1$ , $1.0001^x$ crece en un factor $1.0001$ mientras que $1000x^2$ crece como máximo un factor $1.00005$ . Por lo tanto, su cociente crece en un factor de al menos $\frac{1.0001}{1.00005}\approx 1.00005$ . Aunque sea muy pequeño al principio (cerca de $x=x_0$ ), que cociente crece exponencialmente y pronto será mayor que $1$ .

(A la izquierda como ejercicio: ¿por qué $1.00005^x$ acaba siendo mayor que cualquier constante? Podría utilizar $1.00005^x=(1+0.00005)^x\ge 1+0.00005x$ Esto último es fácil de demostrar, al menos para los $x$ razonando de forma inductiva, aunque no se haya introducido formalmente la inducción matemática).

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No conozco una prueba más sencilla, y mi sincera opinión es que probablemente no sea el tema adecuado para una introducción a ese nivel. A lo mejor tienen un profesor muy ambicioso que tristemente no se identifica con las formas de pensar de los alumnos de ese nivel, y cree que, por muy asombroso que sea el mero hecho (que la exponencial siempre crece más rápido que un polinomio), pueden provocar más asombro introduciendo el prueba de ese hecho. Espero que el efecto sea el contrario: que los niños dejen las matemáticas de por vida. (Por muy majestuoso que sea, el medio del océano Pacífico no es el lugar adecuado para que un nadador principiante disfrute de la belleza del océano, por así decirlo).

Así que su mejor estrategia puede ser no hacer la tarea, y esperar a ver qué decía el profesor. Al menos le ahorras a tu hijo las horas de frustración que supone trabajar con usted Al final, el profesor puede acabar presentando un argumento poco convincente, que todos aceptaremos como "suficientemente bueno en esta fase", y seguiremos adelante.

Answer 2

Yo usaría un argumento geométrico combinado con el principio de inducción para convencer a tu hijo. Una demostración sencilla, pero bastante rigurosa, que probablemente sea comprensible para un estudiante de álgebra.

Pídale a su hijo que imagine una hoja de papel cuadrada de lado $b$ donde $b$ es muy grande, entonces aumentando su longitud lateral en $1$ obtenemos una tira de papel añadida a la parte superior y lateral del cuadrado, pero aumentando su dimensión por $1$ añadirá mucho más material, ya que la tira de papel puede cortarse claramente y caber completamente dentro del cubo con espacio de sobra.

Por lo tanto, $(b + 1)^2 < b^{2 + 1}$ (de nuevo, recordando a su hijo que $b$ es muy grande).

De hecho, si lo desea, puede exhibir tal $b$ sin dar el argumento anterior, pero creo que puede ayudar a que se hunda en que el aumento de la variable en la exponencial aumenta el volumen de la plaza por un totalmente nuevo dimensión mientras que el aumento de la variable en un cuadrado sólo añade una pequeña rendija 2d de papel en comparación.

Ahora simplemente "repetimos" el argumento (puedes usar la palabra "inducción" si quieres, pero creo que "repetir" transmite la idea). Supongamos que sabemos

$$(b + n)^2 < b^{2 + n}$$

para algunos $n$ . Queremos demostrar que

$$(b + n + 1)^2 < b^{2 + n + 1}$$

podemos reescribirlo como

$$(b + n)^2 + 2(b + n) + 1 < b^{2 + n} b$$ La reescritura del LHS puede verse geométricamente. Las bandas laterales y superior tienen longitud $(b + n)$ y altura 1, y la esquina tiene área 1, se puede dibujar un diagrama para ver esto.

(Alternativamente, no estoy seguro de si utilizan este término en la escuela, pero esta forma de reescribir el LHS se llamaba "FOILing" cuando yo estaba en la escuela media)

Esta desigualdad es definitivamente cierta, ya que

$$b^{2 + n} b = b^{2 + n} + \dots + b^{2 + n} \text{ ($ b $ times)} $$ ,

Esto también puede argumentarse geométricamente, pero es más difícil de visualizar en dimensiones superiores a 3.

Por nuestra suposición, $$(b + n)^2 < b^{2 + n}$$

Por lo tanto, $$(b + x)^2 < b^{2 + x}$$ para todos los números naturales $x$ mayor o igual que 1.

Si a su hijo le interesan este tipo de cosas, pensar en dimensiones "superiores" probablemente añadirá un aire de intriga a todo el asunto. El paso de inducción anterior puede explicarse geométricamente, e incluso seguir siendo riguroso si se trabaja un poco más en ello.

La idea es que, cuando añades 1 a la longitud de un cuadrado, estás añadiendo sólo una cantidad bidimensional de cosas, pero cuando añades 1 a la longitud de un cuadrado, estás añadiendo sólo una cantidad bidimensional de cosas. dimensión de un cuadrado, está añadiendo un 3 cantidad dimensional de cosas.

Cuando sumas dos a la longitud del cuadrado, estás todavía añadiendo sólo una cantidad bidimensional de cosas. Pero cuando añades dos a la dimensión de un cuadrado, no sólo estás añadiendo la cantidad tridimensional de cosas, sino que también estás añadiendo 4 cantidad dimensional de cosas ahora también, y así sucesivamente.

Answer 3

Ya he publicado una respuesta, en la que expongo mi interpretación de lo que realmente pide el profesor.

Dicho esto, también quiero aportar una visión extraña de este problema.

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Las ventajas se acumulan más rápido.

1. un entero mayor que cero está formado por un montón de 1's y pluses.

$3 = 1 + 1 + 1$

$5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1$

$6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1$

2. Sumar dos números no es más que juntar todos los más.

$6 + 2 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) + (1 + 1)$

$6 + 3 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1) $

$6 + 4 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1 + 1) $

3. La multiplicación es una suma repetida.

$2 \times 3$ significa "sumar dos pilas de tres".

$3 \times 3$ significa "sumar tres pilas de tres".

$1 \times 3 = (1 + 1 + 1)$

$4 \times 3 = (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1)$

$5 \times 3 = (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1)$

$6 \times 3 = (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1)$

Los pluses se acumulan más rápido cuando multiplicas que cuando sumas cosas porque las estás sumando una y otra vez.

4. La exponenciación es una multiplicación repetida.

$3 ^ 4$ significa lo mismo que $3 \times 3 \times 3 \times 3$ que significa "suma tres montones de tres, luego suma tres montones de ese resultante, luego suma tres montones de ESE resultante".

$3 ^ 1 = (1 + 1 + 1)$

$3 ^ 2 = (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1)$

$3 ^ 3 = (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1)$

Las ventajas se acumulan más rápido cuando se exponencian las cosas que cuando se multiplican, porque se multiplican una y otra vez.

5. Una expresión cuadrática es sólo una multiplicación.

$a ^ 2 = a \times a$

$b ^ 2 = b \times b$

$c ^ 2 = c \times c$

Los pluses se acumulan a la misma velocidad que la multiplicación.

6. Una expresión exponencial son muchas multiplicaciones.

$a ^ 2 = a \times a$

$a ^ 3 = a \times a \times a$

$a ^ 4 = a \times a \times a \times a$

Los pluses se acumulan a la misma velocidad que la exponenciación, por lo que una expresión exponencial acumula pluses más rápido que una expresión cuadrática.

7. La velocidad a la que se agranda una expresión es igual al número de nuevos pluses que obtiene a cada paso.

La multiplicación obtiene más pluses a cada paso que la suma, ya que es una suma hecha una y otra vez. La exponenciación obtiene más ventajas en cada paso que la multiplicación, ya que se trata de multiplicar una y otra vez.

8. Los demás números no cambian la velocidad, así que no importan para ver a qué velocidad crecen las cosas.

Cuadrática:

$10 + 2 ^ 2 = (1+1+1+1+1+1+1+1+1+1) + (1+1) + (1+1) $

$10 + 3 ^ 2 = (1+1+1+1+1+1+1+1+1+1) + (1+1+1) + (1+1+1) + (1+1+1) $

$10 + 4 ^ 2 = (1+1+1+1+1+1+1+1+1+1) + (1+1+1+1) + (1+1+1+1) + (1+1+1+1) + (1+1+1+1) $

$10 + 5 ^ 2 = (1+1+1+1+1+1+1+1+1+1) + (1+1+1+1+1) + (1+1+1+1+1) + (1+1+1+1+1) + (1+1+1+1+1) + (1+1+1+1+1)$

Exponencial:

$4 + 2 ^ 2 = (1+1+1+1) + (1+1) + (1+1) $

$4 + 2 ^ 3 = (1+1+1+1) + (1+1) + (1+1) + (1+1) + (1+1) $

$4 + 2 ^ 4 = (1+1+1+1) + (1+1) + (1+1) + (1+1) + (1+1) + (1+1) + (1+1) + (1+1) + (1+1) $

$4 + 2 ^ 5 = (1+1+1+1) + (1+1) + (1+1) + (1+1) + (1+1) + (1+1) + (1+1) + (1+1) + (1+1) + (1+1) + (1+1) + (1+1) + (1+1) + (1+1) + (1+1) + (1+1) + (1+1)$

Está recibiendo pluses mucho más rápido.

El número de pluses que añaden esos números extra es fijo, por lo que no influye en la velocidad a la que crecen los números. Puede llevar algún tiempo, pero al final la exponencial obtendrá más puntos que la cuadrática.

Answer 4

Quizás esto esté por encima del nivel de un alumno de 7º curso, pero una ampliación de serie da:

$$e^x > 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}>\frac{x^3}{6}$$

y, por tanto, los términos cúbicos (y superiores) siempre dominarán a los cuadráticos a grandes $x$ .

Answer 5

Puede dejar que $x$ llegar al infinito a través de sólo una secuencia delgada. Si quiere comparar $1.01^x$ con $100x^2$ Supongamos $x = 1.01^n$ y que $n$ ir hasta el infinito. Ahora estás comparando

$$100\cdot 1.01^{2n} \mbox{ with } (1.01)^{1.01^n}.$$

Ahora es cuestión de qué exponente $2n$ o $1.01^n$ crecer; ¿una exponencial crece más rápido que una función lineal? Si tienes que argumentar que sí, puedes repetir lo anterior y reducirlo a si una exponencial crece más rápido que una constante.