¿Por qué una función exponencial acaba siendo mayor que una cuadrática?

Question

He visto la respuesta a esta pregunta y éste .

Mi $7$ hijo de tercer curso tiene esta pregunta en sus deberes:

¿Cómo sabes que una expresión exponencial será finalmente mayor que cualquier expresión cuadrática?

Puedo explicarle para cualquier ejemplo particular como $3^x$ vs. $10 x^2$ que puede simplemente probar diferentes valores enteros de $x$ hasta que encuentre uno, por ejemplo $x=6$ . Pero, ¿cómo puede un $7$ a entender que siempre será verdad, incluso $1.0001^x$ acabará siendo mayor que $1000 x^2$ ? Es evidente que no conocen el teorema del binomio, las derivadas, las series de Taylor, la regla de L'Hopital, los límites, etc,

Nota: así está planteado el problema, no dice que la base de la expresión exponencial tenga que ser mayor que $1$ . Aunque para base entre $0$ y $1$ sigue siendo cierto que existe algún $x$ donde la exponencial es mayor que la cuadrática, la frase "eventualmente" hace que suene como si hubiera algún $M$ donde es mayor para todos $x>M$ . Así que no me gusta cómo está redactada la pregunta.

Answer 1

Por ejemplo, mire cómo $2^x$ crece en comparación con $x^2$ . Si $f(x)=2^x$ entonces $f(2x)=2^{2x}=(2^x)^2$ . Por tanto, si se duplica la entrada, la salida se eleva al cuadrado (¡!). Por el contrario, si $g(x)=x^2$ entonces $g(2x)=(2x)^2=4x^2$ por lo que la producción se cuadruplica. En última instancia, elevar al cuadrado es mucho más potente que cuadruplicar, y así la función exponencial crece más rápido.

Answer 2

Suponiendo que la exponencial sea $c^x$ :

Entonces: $c^x = ((\sqrt{c})^2)^x = (\sqrt{c})^{2x} = ((\sqrt{c})^x)^2$

Nuestra pregunta original se convierte ahora en: comparemos $x^2$ con $((\sqrt{c})^x)^2$ . Lo que tiene el mismo resultado que comparar $x$ directamente con $(\sqrt{c})^x$ .

Como resultado, hemos reducido nuestro argumento a: ¿por qué una función exponencial acaba siendo mayor que una lineal? Que probablemente ya ha sido contestada por el profesor.

Answer 3

No estoy seguro de que vieran $\log$ todavía, pero para "visualizar" y sacar los números de la exponenciación, reduzca la escala utilizando la función $\log$

$$\log(2^x) = x \cdot \log(2)$$ $$\log(x^2) = 2 \cdot \log(x)$$

Eliminando las constantes, comparamos ahora $x$ y $\log(x)$ y $$\dfrac{x}{\log(x)}$$ crece rápidamente.

Answer 4

Esta pregunta motiva a pensar en los exponentes y, por tanto, en los logaritmos. Pero incluso sin entrar en la definición de logaritmos, podemos considerar expresiones relevantes de $x$ -valores para los que puede resultar evidente la diferencia en la tasa de crecimiento. Consideremos: $$ f(x)=a^x\\ g(x)=x^2 $$ y deducir que $$ f(2x)=a^{2x}=\left(a^x\right)^2=g(a^x) $$ Así que ahora podemos preguntar:

En $f(2x)=g(a^x)$ acabará siendo mayor que $g(2x)$ ?

Así que el problema ahora se reduce comparando las dos entradas $a^x$ y $2x$ a la misma función $g$ y demostrando que $a^x$ acaba siendo mayor que $2x$ por cualquier factor que se quiera considerar, por grande que sea.

---

Como corolario, este enfoque funciona para cualquier polinomio de grado, a saber, tomar $g(x)=x^n$ y considerar $f(nx)=g(a^x)$ en comparación con $g(nx)$ . Así se compara una entrada exponencial $a^x$ a una entrada lineal $nx$ .

---

Por último, para dar una imagen completa, ¿por qué $a^x$ superan cualquier término lineal $kx$ eventualmente (dado $a>1$ )? Bueno, considéralo: $$ f(x+1)-f(x)=a^{x+1}-a^x=a^x(a-1)\\ g(x+1)-g(x)=k $$ Así que ahora sólo tenemos que demostrar que $a^x(a-1)$ acaba siendo mayor que $k$ para ver que un aumento de $1$ en $x$ finalmente hará $f$ crecen a un ritmo más rápido que $g$ . Es evidente que esta expresión $a^x(a-1)$ es cada vez mayor y, por tanto $f$ crece más rápido que una función lineal con una pendiente mayor que $g$ y acabará poniéndose al día.

Answer 5

..puede que sea solo yo, pero creo que todos estamos leyendo mal esta pregunta. Estamos en 7º curso, así que no creo que el profesor esté pidiendo una prueba específica de esa afirmación. La respuesta podría ser mucho más sencilla.

Obsérvese que en la pregunta se pide cómo lo sabes no por qué ocurre esto .

" Cómo ¿sabe usted un expresión exponencial será mayor que cualquier expresión cuadrática?"

La respuesta sería:

"Una expresión exponencial será mayor que cualquier expresión cuadrática cuando la base es mayor de 1 .

Mi razonamiento es que esto "se parece" mucho a "¿cómo sabes que un número es divisible por 3?", a lo que la respuesta sería "cuando la suma de sus dígitos también es divisible por 3".

---