Encuentre $\lim_{x\rightarrow c}|f(x)|^{f(x)}$

Question

Sea $f$ sea diferenciable en $(a,b)$ y que $c\in(a,b)$ . Supongamos que $f$ y $f'$ son distintos de cero en una vecindad eliminada de $c$ pero $\lim_{x\rightarrow c}f(x)=0$ . Visite $\lim_{x\rightarrow c}|f(x)|^{f(x)}$

Dado que esta pregunta está dentro del tema Regla de L'Hospital, lo que he intentado es cambiar la pregunta a la forma $$\lim_{x\rightarrow c}|f(x)|^{f(x)}=\exp \lim_{x\rightarrow c}\frac{\ln|f(x)|}{1/f(x)}$$

Y como es forma indeterminada, quiero aplicar la Regla de L'Hospital pero cómo diferenciar $|f(x)|$ ?

Answer 1

La función $g(z)=z^z$ se prolonga por continuidad en $z=0$ y $g(0)=1$ . Por las condiciones dadas $f$ es creciente o decreciente en una vecindad adecuada de $x=c$ . Elija $f$ creciente (mismo razonamiento si $f$ se supone decreciente) en dicha vecindad.

Tenemos entonces $|f(x)|= -f(x)$ si $x<c$ y $|f(x)|=f(x)$ si $x>c$ . Por lo tanto $|f(x)|^{f(x)}$ pasa a ser de la forma $\frac{1}{Z^Z}$ cuando $x<c$ y de la forma $Z^Z$ cuando $x>c$ . En consecuencia, teniendo en cuenta la función g anterior, el límite de la pregunta es igual a $1$ .

Answer 2

Si suponemos que el límite $f'$ no cero entonces como se ha comentado podemos suponer $f>0$ . Hemos bajado a evaluar:

$$\frac{\ln{f}}{1/f}= \frac{-\infty}{\infty}$$

Aplicando la regla obtenemos después de cancelar $f'$ que el límite de $\frac{\ln{f}}{1/f}$ es $0$ por lo que el límite es $1$ .