Demostrar que si $A\neq B$ entonces $\exp(A/n) \neq \exp(B/n)$ para algunos $n\in \mathbb N$

Question

Sea $A \neq B \in M_{n\times n}$ sean mapas lineales. Me gustaría demostrar que existe $n\in \mathbb N$ tal que $e^{A/n} \neq e^{B/n}$ .

Intenté asumir que $e^{\frac{A}{n}} = e^{\frac{B}{n}}$ para cada $n\in \mathbb N$ y obtener usando la unicidad de una solución a una EDO que $A = B$ pero no funcionó. Agradecería cualquier ayuda.

EDIT: ¡Gracias Travis! También he encontrado otra solución:

$A = Ae^{At}|_{t=0} = \lim_{t\to 0} {\frac{e^{tA} -1}{t}} = Be^{Bt}|_t=0 = B$ por definición de la derivada (y $e^{\frac{1}{n}A} = e^{\frac{1}{n}B}$ ).

Answer 1

Sugerencia Más o menos por definición, el pushforward del mapa exponencial $$\exp : M_{n \times n} \to GL(n, \Bbb R)$$ en $0$ es el mapa de identidad: $$T_0 \exp = \operatorname{id}_{T_I GL(n, \Bbb R)} .$$ En particular, hay un vecindario abierto $U$ de $0$ tal que la restricción $\exp\vert_U$ es un difeomorfismo $U \to \exp(U)$ .

Por otra parte, para cualquier $A, B \in M_{n \times n}$ hay algo de $N \in \Bbb N$ tal que $\frac{1}{N} A, \frac{1}{N} B \in U$ .

Todo esto funciona igual de bien si en su lugar trabajamos sobre $\Bbb C$ .