Tensor de productos de interior hom?

Question

Monoidal categorías vienen con tensor de productos, y a veces, estas categorías son biclosed, yo.e cada restricción del tensor de bifunctor tiene derecho adjuntos. Si la categoría pasa a ser simétrica, entonces las restricciones de la $\otimes$ bifunctor son naturalmente isomorfos y podemos hablar de monoidal simétrica cerrada categorías.

Si entiendo correctamente, el hom interno es precisamente este derecho adjuntos a $-\otimes A$. Por lo tanto, el interno hom viene de $\otimes$ y no al revés.

(Cuando) Es posible definir primero la interna hom y, a continuación, inducir $\otimes$ a partir de la contigüidad? Puede que de alguna manera nos van por otro camino alrededor y obtener monoidal estructura de alguna manera, la definición de un interno hom?

Answer 1

En general, si usted no desea que se inicie con la estructura monoidal, comienza con un cerrado de la categoría. En un cerrado categoría $\mathsf C$, tiene un bifunctor $$[-,-] : \mathsf C^{op} \times \mathsf C \to \mathsf C,$$ llama la interna hom, y varios otros datos que son de algún modo "dual" a los axiomas de una categoría monoidal (puse dos comillas porque este no es el dual de la noción de "categoría monoidal", que acaba de dualize un lado de la bifunctor $- \otimes -$ para obtener los axiomas de $[-,-]$). Más específicamente:

• un objeto de la unidad de $I$,
• un isomorfismo natural $\operatorname{id}_{\mathsf C} \cong [I, -]$,
• un extranatural de transformación de $j_X : I \to [X, X]$ que corresponde a conseguir la "identidad" de la $[X,X]$,
• post-composición de transformación de $[Y,Z] \to [[X,Y], [X,Z]$,

sujeto a la coherencia de las diversas condiciones.^*

Entonces al igual que la interna hom $[-,X]$ en una categoría monoidal, si es que existe, es el derecho adjuntos a $- \otimes X$, el producto tensor en un circuito cerrado de categoría es la de la izquierda adjunto a la interna hom (si es que existe). En ambos casos se obtiene una cerrada categoría monoidal. También es posible definir categorías enriquecido más categorías cerradas, en una manera similar a las categorías enriquecido más de una categoría monoidal, y las dos nociones coinciden cuando la categoría es cerrado monoidal.

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^* Estos datos son verdaderamente dual para los datos que desee para una categoría monoidal. Tomar el punto de vista de que $\hom(X \otimes Y, Z) \cong \hom(X, [Y,Z])$ como si estuviera realmente en un circuito cerrado de categoría monoidal. A continuación, puede utilizar el Yoneda de incrustación para realizar la correspondencia clara:

• El isomorfismo $[I, X] \cong X$ hace $\hom(Y, [I,X]) \cong \hom(Y \otimes I, X)$ naturalmente en $X$$Y$, por lo que obtener el derecho unitor $- \otimes I \cong \operatorname{id}_{\mathsf C}$.
• La transformación de $I \to [X,X]$ se convierte en una transformación $$\hom(Y, I) \to \hom(Y, [X,X]) \cong \hom(Y \otimes X, X).$$ If you take $Y = I$ you get $\hom(I,I) \a \hom(I \otimes X, X)$, and the image of the identity of $I$ debido a la izquierda unitor.
• Los datos de la asociador es equivalente a un (extra en algunas de las variables naturales de isomorfismo $[A, [B,C]] \cong [A \otimes B, C]$. La relación con el post-composición es más complicado y voy a dejar de leer el reglamento de la referencia.

Por supuesto ninguna de las anteriores es una prueba real, sólo un esbozo de las ideas que en este. Las pruebas se pueden encontrar en:

Kelly, G. Max; Mac Lane, Saunders, la Coherencia en categorías cerradas. J. Pure Appl. Álgebra 1 de 1971 no. 1, 97-140. doi: 10.1016/0022-4049(71)90013-2.

Answer 2

Esta es sólo una pequeña adición a Najib muy bonita respuesta, que sin embargo es demasiado largo para un comentario.

Incluso es interesante observar la estructura de un sistema cerrado de la categoría en el siguiente muy restringido de configuración:

1. Consideramos que sólo posets $({\mathsf P},\leq)$ considerado como una de las categorías.
2. Sólo tenemos en cuenta las cerradas estructuras en las que la unidad es un terminal de objeto (intuitivamente, estos son como el interior de homs correspondiente a la categoría de producto $\times$ como la estructura monoidal)

Denotando ${\mathsf T}$ el terminal objeto de ${\mathsf P}$, $[-,-]$ es entonces una función de $\to: ({\mathsf P},\leq)^{\text{op}}\times ({\mathsf P},\leq)\to({\mathsf P},\leq)$ tal forma que:

• Para todos los $P\in{\mathsf P}$ tenemos $({\mathsf T}\to P) = P$${\mathsf T}\leq (P\to P)$, es decir,$(P\to P) = {\mathsf T}$.

• Para todos los $P,Q,R\in{\mathsf P}$ tenemos $(Q\to R)\leq ((P\to Q)\to (P\to R))$.

Esto ya se ve muy 'lógico', y de hecho: Tomar ${\mathsf P}$ a las clases de equivalencia de las fórmulas indicadas en la implicational fragmento de intuitionistic lógica proposicional, con $\to$ está dada por $[\psi]\to[\phi] := [\psi\Rightarrow\phi]$, cumple con estos axiomas.

En el $1$categoría de nivel, es un interesante ejemplo mirando la categoría que más ha implicational proposicional fórmulas como objetos, sino de clases de equivalencia de pruebas en el sentido de los términos en mecanografiada $\lambda$-cálculo - como morfismos. Tenga en cuenta que en esta configuración no hay realmente ninguna categórica producto presente, pero sólo el hom interno dado por implicación.

Ver también http://www.moravica.ftn.kg.ac.rs/Vol_3/04-Dudek.pdf