Si Cov(A,B) = 0, ¿qué se puede decir de Cov(|A|, |B|)?

Question

Si tengo dos variables aleatorias $A$ y $B$ tomando valores en $[-1,1]$ (donde ambos $1$ y $-1$ tienen algún peso distinto de cero), y sé que $Cov(A,B) = 0$ ¿se puede decir algo sobre $Cov(|A|, |B|)$ ?

Si no es así, ¿podría alguien darme un ejemplo en el que $Cov(A,B)=0$ pero $Cov(|A|,|B|)$ puede ajustarse arbitrariamente?

Answer 1

Sí, es posible.

Sea $A=\pm 1$ con probabilidades $1/4$ o $0$ con probabilidad $1/2$ , $Z$ ser Bernolli simétrico, y $B = AZ.$ Entonces $\operatorname{cov} (A,B) = 0$ pero $\operatorname{cov}(|A|,|B|) = \frac{1}{4}$ . (Este es el máximo valor posible en estas condiciones.) Además, dejemos que $B' = Z\mathbf{1}_{A=0}$ . Entonces $\operatorname{cov} (A,B') = 0$ pero $\operatorname{cov}(|A|,|B'|) = -\frac{1}{4}$ . (Este es el valor mínimo posible en estas condiciones).

Todo lo que está en medio puede conseguirse mezclando estos dos ejemplos.