Clasificar los finitos $p$ grupo con propiedad especial

Question

Deseo clasificar los siguientes finitos $p$ grupo.

Sea $G$ sea una $p$ con la propiedad siempre que $H$ es un subgrupo no normal de $G$ de orden $p$ , $G$ es el producto semidirecto de $H$ y un subgrupo normal $K$ tal que todos los subgrupos de $K$ de orden $p$ son normales en $G$ y $K$ es isomorfo al cociente $G/L$ para cualquier subgrupo normal $L$ de orden $p$ .

Answer 1

Cualquier $p$ -en el que no hay subgrupos no normales de orden $p$ (como los grupos abelianos o los grupos de cuaterniones generalizados) satisfarán trivialmente sus hipótesis.

Pero aparte de eso no creo que haya ningún ejemplo. Dejemos que $H = \langle h \rangle$ sea un subgrupo no normal de orden $p$ y $G = K \rtimes H$ . Desde $K \cong G/L$ para cualquier subgrupo $L$ de $K$ de orden $p$ y todos los subgrupos de $K$ de orden $p$ son normales en $G$ se deduce que la imagen $HL/L$ de $H$ en $G/L$ es normal y, por tanto, también central en $G/L$ . Así que $[h,g] \in L$ para todos $g \in G$ . Ahora bien $K$ tenía otro subgrupo $L'$ de orden $p$ entonces también tendríamos $[h,g] \in L'$ y por lo tanto $[h,g]=1$ así que $H \le Z(G)$ contrariamente a lo supuesto. Así que $K$ tiene un único subgrupo $L$ de orden $p$ y así, por un resultado estándar, $K$ es cíclico o cuaternión generalizado. Pero ninguno de esos grupos son productos semidirectos, por lo que no podemos tener $G/L \cong K$ contradicción.