Curvas integrales de campos vectoriales

Question

Consideremos el campo vectorial $X=x \frac{\partial}{\partial x}+y \frac{\partial}{\partial y}$ . Me gustaría calcular las curvas integrales. Resolver el sistema de EDO

$\begin{cases} x'(t)=x(t) \\ y'(t)=y(t) \end{cases}$

obtenemos claramente las curvas $(c_1e^t,c_2e^t)$ . Utilizando ecuaciones implícitas, obtenemos $c_1y-c_2x=0$ es decir, las curvas integrales son rectas que pasan por el origen y el campo vectorial es el campo radial habitual (pensemos, por ejemplo, en el campo electrostático generado por una sola carga). Sin embargo, tengo un problema en la interpretación del resultado: por el teorema de existencia y unicidad de Cauchy, espero que dos curvas integrales no puedan intersecarse; entonces, ¿cómo es posible obtener rectas que pasan por el origen (y por tanto se intersecan)? ¿Cuál es el error de mi argumento?

Answer 1

El origen es un equilibrio, es decir $x'(0)=y'(0)=0$ . Así, por el teorema de unicidad, ninguna trayectoria que parta fuera del origen puede alcanzar $(0,0)$ en finito tiempo. Sin embargo, en el límite para $t\rightarrow-\infty$ toda trayectoria de su sistema converge hacia $(0,0)$ .

Dado que la caracterización implícita de las trayectorias no contiene ninguna dependencia temporal, esta información se pierde en la imagen geométrica de $c_2x-c_1y=0$ .