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¿Existe un espacio topológico infinito $X$ con sólo un número contable de funciones continuas a sí misma? Un espacio así sólo tendría un número contable de puntos porque las funciones constantes son continuas. Un espacio con un número contable de puntos tal que sólo las funciones constantes y la identidad sean continuas funcionaría. No he sido capaz de encontrar nada: todos los espacios topológicos que se me ocurren tienen $2^{\aleph_0}$ mapas continuos a sí mismos.
No podemos encontrar un contraejemplo entre los espacios metrizables. Sea $X$ sea un espacio métrico infinito contable con métrica $d$ .
Si $X$ es discreta, es claramente falsa, así que supongamos que hay algún punto $x$ que no está aislado. Sea $(r_i)_{i \in \mathbb{N}}$ sea una sucesión estrictamente decreciente de números reales convergentes a $0$ tal que para cualquier $n \in \mathbb{N}$ no tiene sentido $y$ con $d(x,y) = r_n$ y tal que existe un punto $y$ con $r_n > d(x,y) > r_{n+1}$ .
Definimos $$B_{n+1} = \{y \in X \mid r_n > d(x,y) > r_{n+1} \}\space \text{and} \space B_0 = \{y \in X \mid d(x,y) > r_0 \}$$ Para cualquier número entero $n$ elegimos un punto $y_n$ en $B_n$ .
Entonces, podemos definir la función continua $$f : X \to X \space \text{as} \space f(x) = x \space \text{and} \space f(y) = y_n \space \text{for}\space y \space \text{in}\space B_n$$ A continuación, para cada $n \in \mathbb{N}$ puede elegir intercambiar $y_{2n}$ y $y_{2n+1}$ o no, dándole $2^{\aleph_0}$ mapas continuos.
Otra gran clase de ejemplos que conozco son Topologías Alexandrov Sin embargo, cada topología de Alexandrov corresponde a un preorden, y los mapas continuos entre dos topologías de Alexandrov corresponden a los morfismos entre los preórdenes. Un preorden infinito contable tiene siempre $2^{\aleph_0}$ endomorfismos, por lo que tampoco puedo encontrar allí un contraejemplo.
Busqué otros ejemplos en la Contraejemplos en topología libro, pero nada parecía prometedor (no es que lo haya probado para todos los espacios contables del libro).
Más generalmente, para cualquier cardinal infinito $\kappa$ ¿existe un espacio topológico con $\kappa$ puntos y exactamente $\kappa$ -¿muchos mapas continuos para sí mismos? Un ejemplo obvio para $2^{\aleph_0}$ es $\mathbb{R}$ con la topología euclidiana.
De hecho, para cualquier cardinal infinito $\kappa$ , viendo $\kappa$ como un espacio discreto, podemos definir el espacio $X = \kappa^{\aleph_0}$ con la topología del producto, y este espacio tiene $2^\kappa$ funciones continuas de sí mismo a sí mismo, porque las funciones continuas $f : X \to X$ están determinados por sus valores en las secuencias que son eventualmente constantes. Por lo tanto, para cualquier cardinal $\kappa$ tal que $2^\kappa = \kappa^{\aleph_0}$ sabemos que la respuesta es positiva para $2^\kappa$ .
Edición: Utilizando el $\pi$ -Base una base de datos en línea de espacios topológicos inspirada en el libro Contraejemplos en topología y ampliándolo, obtuve esta lista de espacios posibles . Demostré para cada uno de estos espacios que había demasiados mapas continuos, excepto para la topología de enteros relativamente primos (también conocida como espacio de Golomb) y la topología de enteros primos. La primera se demostró que tenía demasiados mapas continuos y la segunda es muy parecida a la primera, así que no tengo muchas esperanzas puestas en ella. Tenemos que buscar en otra parte. Aquí está mi última idea: si tomamos $F$ un filtro en $\mathbb{N}$ añadiendo el conjunto vacío, obtenemos un espacio topológico. ¿Podría algún espacio así obtenido tener sólo un número contable de funciones continuas hacia sí mismo? ¿Podría ser siempre cierto si el filtro es un ultrafiltro? No sé cómo responder a esta pregunta.