48 votos

¿Existe un espacio topológico infinito con sólo un número contable de mapas continuos hacia sí mismo?

Ahora publicado en Mathoverflow.

¿Existe un espacio topológico infinito $X$ con sólo un número contable de funciones continuas a sí misma? Un espacio así sólo tendría un número contable de puntos porque las funciones constantes son continuas. Un espacio con un número contable de puntos tal que sólo las funciones constantes y la identidad sean continuas funcionaría. No he sido capaz de encontrar nada: todos los espacios topológicos que se me ocurren tienen $2^{\aleph_0}$ mapas continuos a sí mismos.

No podemos encontrar un contraejemplo entre los espacios metrizables. Sea $X$ sea un espacio métrico infinito contable con métrica $d$ .

Si $X$ es discreta, es claramente falsa, así que supongamos que hay algún punto $x$ que no está aislado. Sea $(r_i)_{i \in \mathbb{N}}$ sea una sucesión estrictamente decreciente de números reales convergentes a $0$ tal que para cualquier $n \in \mathbb{N}$ no tiene sentido $y$ con $d(x,y) = r_n$ y tal que existe un punto $y$ con $r_n > d(x,y) > r_{n+1}$ .

Definimos $$B_{n+1} = \{y \in X \mid r_n > d(x,y) > r_{n+1} \}\space \text{and} \space B_0 = \{y \in X \mid d(x,y) > r_0 \}$$ Para cualquier número entero $n$ elegimos un punto $y_n$ en $B_n$ .

Entonces, podemos definir la función continua $$f : X \to X \space \text{as} \space f(x) = x \space \text{and} \space f(y) = y_n \space \text{for}\space y \space \text{in}\space B_n$$ A continuación, para cada $n \in \mathbb{N}$ puede elegir intercambiar $y_{2n}$ y $y_{2n+1}$ o no, dándole $2^{\aleph_0}$ mapas continuos.

Otra gran clase de ejemplos que conozco son Topologías Alexandrov Sin embargo, cada topología de Alexandrov corresponde a un preorden, y los mapas continuos entre dos topologías de Alexandrov corresponden a los morfismos entre los preórdenes. Un preorden infinito contable tiene siempre $2^{\aleph_0}$ endomorfismos, por lo que tampoco puedo encontrar allí un contraejemplo.

Busqué otros ejemplos en la Contraejemplos en topología libro, pero nada parecía prometedor (no es que lo haya probado para todos los espacios contables del libro).

Más generalmente, para cualquier cardinal infinito $\kappa$ ¿existe un espacio topológico con $\kappa$ puntos y exactamente $\kappa$ -¿muchos mapas continuos para sí mismos? Un ejemplo obvio para $2^{\aleph_0}$ es $\mathbb{R}$ con la topología euclidiana.

De hecho, para cualquier cardinal infinito $\kappa$ , viendo $\kappa$ como un espacio discreto, podemos definir el espacio $X = \kappa^{\aleph_0}$ con la topología del producto, y este espacio tiene $2^\kappa$ funciones continuas de sí mismo a sí mismo, porque las funciones continuas $f : X \to X$ están determinados por sus valores en las secuencias que son eventualmente constantes. Por lo tanto, para cualquier cardinal $\kappa$ tal que $2^\kappa = \kappa^{\aleph_0}$ sabemos que la respuesta es positiva para $2^\kappa$ .

Edición: Utilizando el $\pi$ -Base una base de datos en línea de espacios topológicos inspirada en el libro Contraejemplos en topología y ampliándolo, obtuve esta lista de espacios posibles . Demostré para cada uno de estos espacios que había demasiados mapas continuos, excepto para la topología de enteros relativamente primos (también conocida como espacio de Golomb) y la topología de enteros primos. La primera se demostró que tenía demasiados mapas continuos y la segunda es muy parecida a la primera, así que no tengo muchas esperanzas puestas en ella. Tenemos que buscar en otra parte. Aquí está mi última idea: si tomamos $F$ un filtro en $\mathbb{N}$ añadiendo el conjunto vacío, obtenemos un espacio topológico. ¿Podría algún espacio así obtenido tener sólo un número contable de funciones continuas hacia sí mismo? ¿Podría ser siempre cierto si el filtro es un ultrafiltro? No sé cómo responder a esta pregunta.

12voto

Mirko Puntos 5620

Tengo algo que sé que no es una respuesta completa, pero que me parece lo suficientemente bueno como para ponerlo aquí como comentario extendido.

Primero pensé que la pregunta podría estar relacionada con los espacios rígidos, es decir, en los que el único autohomeomorfismo es la identidad. Así que busqué en Google espacio topológico rígido contable .

Uno de los resultados fue el siguiente documento:
AVANCES EN MATEMÁTICAS 29 (1978), 89-130
Construcciones y aplicaciones de los espacios rígidos, I
V. Kannan, M. Rajagopalan

En la sección 2 (p.103 de su documento) discuten espacios fuertemente rígidos :
Un espacio de Hausdorff $X$ se dice que es fuertemente rígido si todo automapa continuo de $X$ es el mapa de identidad o un mapa constante.

Hablan de las dificultades para encontrar esos espacios, pero han una construcción que parece responder a la pregunta anterior bajo el supuesto que $\mathfrak c^+<2^{\mathfrak c}$ donde $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$ . (Bastante largo, sólo ojeé el periódico, trabajan con $\beta D$ donde $D$ es discreto de cardinalidad infinita $m$ y su hipótesis es $(2^m)^+<2^{2^m}$ la idea principal parece ser que $\beta D\setminus D$ contiene muchos puntos de "tipo topológico diferente", algunos resultados de Kunen. O mejor dicho, supuse que estaba relacionado con algunos resultados de Kunen, pero mirando de nuevo veo que los autores utilizan el siguiente resultado de Hajnal:
TEOREMA. Sea $D$ sea un espacio discreto infinito de cardinalidad $m$ . Supongamos que $(2^m)^+<2^{2^m}$ . Entonces todo subconjunto cerrado de $\beta D\setminus D$ con cardinalidad $2^{2^m}$ contiene un subconjunto de cardinalidad $2^m$ en el que no hay dos elementos comparables.
Uno puede querer revisar los resultados posteriores de Kunen, para ver si la condición $(2^m)^+<2^{2^m}$ podría eliminarse).

Véase, en particular, el teorema 2.5.6 (p. 124) y la observación 2.5.8 (p. 127).

TEOREMA 2.5.6. El espacio $S$ (de la construcción 2.5.3) tiene las siguientes propiedades:
(1) $S$ es un espacio de Hausdorff.
(2) $S$ está conectado. De hecho, ambos $S\setminus\{\infty\}$ y $S\setminus\{-\infty\}$ están conectados.
(3) $|S| = m.$
(4) $S$ es fuertemente rígido.

Por supuesto, cuando $m=\aleph_0$ y $(2^{\aleph_0})^+<2^{2^{\aleph_0}}$ entonces obtenemos un espacio contable fuertemente rígido $S$ y, en particular, sólo un número contable de funciones continuas a sí misma, a saber, el mapa de identidad y todos los mapas constantes.

(Su Observación 2.5.8. Creemos que hemos dado el primer ejemplo de un espacio fuertemente rígido contable. Nótese que incluso los espacios Hausdorff conectivos contables son raros ([22]).

Algunos otros documentos que google me mostró y puede ser relevante:
REVISTA PACÍFICA DE MATEMÁTICA Vol. 70, No. 2, 1977
ESPACIOS CONTABLES SIN PUNTOS DE PRIMERA CONTABILIDAD
RONNIE LEVY

AVANCES EN MATEMÁTICAS 52, 1-33 (1984)
Un espacio compacto con una medida que sabe qué conjuntos son homeomórficos
ERIC K. VAN DOUWEN

OBSERVACIÓN : Es una observación trivial, pero sólo para que conste, es fácil ver (y esencialmente ya señalado por el OP) que cualquier ejemplo (de un espacio con sólo contablemente muchos mapas continuos en sí mismo) podría tener a lo sumo finitamente muchos puntos aislados. De hecho, podríamos usar el mapa de identidad en el subconjunto de puntos no aislados, y podríamos enviar cada punto aislado a cualquier punto que queramos, y si hubiera infinitos puntos aislados entonces obtendríamos al menos $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$ muchos mapas continuos. Bueno, retiro esto, ya que no es obvio por qué los mapas resultantes tienen que ser continuos, puede que no sea tan fácil de ver, aunque la idea parece plausible.
Por otro lado, si tenemos un ejemplo fuertemente rígido $X$ entonces $X$ no puede tener ningún punto aislado (ya que si $p$ estaba aislado entonces podríamos tomar la identidad en $X\setminus\{p\}$ y envíe $p$ a cualquier $x\not=p$ para obtener un mapa continuo que no es ni la identidad, ni constante).
Estoy pensando en empezar con un ejemplo muy rígido $X$ y añadiendo un punto aislado $p$ para conseguir un espacio $Y=X\cup\{p\}$ que no es fuertemente rígido pero que sólo tiene un número contable de mapas continuos hacia sí mismo. Se suponía que esto (o más en general, añadir finitamente muchos puntos aislados) era fácil, pero me estoy liando con los detalles, y estoy empezando a dudarlo (estoy viendo la final masculina del US Open de tenis al mismo tiempo, y de hecho ya ha terminado, pero déjame dejar esta cuestión por un momento).

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X