En ZFC, la cardinalidad del conjunto de órdenes lineales sobre $\omega$ es $2^{\aleph_0}$ . Por el argumento dado por aquí podemos demostrar (sin la elección) el número de órdenes lineales sobre $\omega$ es al menos $2^{\aleph_0}$ . Además, podemos demostrar que si $A$ es un conjunto de tipos de orden lineal contables, entonces $|A|\ge \aleph_1$ en ZF.
Por lo tanto, podemos demostrar $|A|\ge 2^{\aleph_0}$ y $|A|\ge\aleph_1$ en ZF. Si asumimos la elección entonces podemos demostrar $|A|\le 2^{\aleph_0}$ . Sin embargo, si asumimos el AD (de hecho, basta con que asumamos $\aleph_1$ y $2^{\aleph_0}$ son incomparables) entonces $|A|>2^{\aleph_0}$ .
Mi pregunta es : si asumimos el AD (o, todo subconjunto de reales es medible por Lebesgue) entonces $|A|=2^{\aleph_0}+\aleph_1$ ? Si no es así, ¿hay resultados conocidos sobre la cardinalidad del conjunto de tipos de orden lineal contables?
El conjunto de tipos de orden lineal contables se define de la siguiente manera : Sea $C\subset \mathcal{P}( \omega\times \omega)$ sea un conjunto de todos los órdenes lineales sobre $\omega$ . Definir $\le_1\,\sim\, \le_2$ si $(\omega,\le_1)$ y $(\omega,\le_2)$ es isomorfo (como conjunto linealmente ordenado.) Entonces $\sim$ es una relación de equivalencia sobre $C$ y $C/\sim$ es un conjunto de todos los "tipos de orden lineal" sobre un conjunto contable.
