Diferencia entre suma y suma directa

Question

¿Cuál es la diferencia entre suma de dos vectores y suma directa de dos subespacios vectoriales?

Mi libro de texto es confuso al respecto. Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Suma directa es un término para subespacios mientras que suma se define para vectores . Podemos tomar la suma de subespacios, pero entonces su intersección no tiene por qué ser $\{0\}$ .

Ejemplo: Sea $u=(0,1),v=(1,0),w=(1,0)$ . Entonces

• $u+v=(1,1)$ (suma de vectores),
• $\operatorname{span}(v)+\operatorname{span}(w)=\operatorname{span}(v)$ por lo que la suma no es directa,
• $\operatorname{span}(u)\oplus\operatorname{span}(v)=\Bbb R^2$ aquí la suma es directa porque $\operatorname{span}(u)\cap\operatorname{span}(v)=\{0\}$ ,
• $u\oplus v $ no tiene sentido en este contexto.

Nótese que la suma directa de subespacios de un espacio vectorial no es lo mismo que la suma directa de algunos espacios vectoriales.

Answer 2

En Axler's Linear Algebra Done Right, define la suma de subespacios $U + V$ como

$\{u + v : u \in U, v \in V \}$ .

Luego dice que $W = U \oplus V$ si

(1) $W = U + V$ y

(2) La representación de cada $w$ como $u + v$ es único .

Ésta es una forma de presentar estas definiciones diferente a la de la mayoría de los textos, pero es equivalente a otras definiciones de suma directa.

En el libro de cualquiera, la suma y la suma directa de subespacios siempre están definidas; y la suma de vectores siempre está definida; pero no existe la suma directa de vectores.

Answer 3

Hay que tener en cuenta estas dos definiciones:

Definición 1 : suma de subconjuntos

Supongamos que $U_1,...,U_m$ son subconjuntos de $V$ . En suma de $U_1,...,U_m$ denotado por $U_1+...+U_m$ i $U_1,...,U_m$ . Más concretamente,

$$U_1 + ... + U_m = \{u_1+...+u_m: u_1\in U_1,...,u_m\in U_m\}$$

Definición 2 : suma directa

Supongamos que $U_1,...,U_m$ son subespacios de $V$ .

La suma $U_1+...+U_m$ se denomina suma directa sólo si cada elemento de $U_1+...+U_m$ puede escribirse en uno y sólo uno w una suma de $u_1+...+u_m$ donde cada $u_j$ está en $U_j$ . La notación para tal suma de subconjuntos es $U_1\oplus ... \oplus U_m$ .

Hay un atajo para identificar sumas directas:

Supongamos que $U_1,...,U_m$ son subespacios de $V$ . Entonces $U_1+...+U_m$ es una suma directa sólo si la única manera de escribir $0$ como una suma $u_1+...+u_m$ es tomando cada $u_j$ igual a $0$ .

También,

Supongamos que $U$ y $W$ son subespacios de $V$ . Entonces $U+W$ es una suma directa sólo si $U\cap W =\{0\}$ .