sobre una difícil y extraña pregunta de Probabilidad

Question

Sea W la variable aleatoria que cuenta el número de colas antes de obtener r caras para una moneda cuya probabilidad de cara es . Sin utilizar la función generadora de momentos, demuestre que la media y la varianza de W son [r(1-)]/ y [r(1-)]/^2 Por favor, ayúdame con la prueba completa. Tengo algunas ideas, pero no puedo escribirla de manera formal. Gracias.

Answer 1

Sea $X$ sea el número aleatorio de colas que se producen antes de que $r$ se observan cabezas. La probabilidad de que $X = x$ viene dada por la expresión $$\Pr[X = x] = \binom{x + r - 1}{x} \theta^r (1-\theta)^x, \quad x = 0, 1, 2, \ldots,$$ porque:

1. El número total de lanzamientos de moneda debe ser $x + r$ ;
2. El lanzamiento final de la moneda debe salir cara y debe ser el $r^{\rm th}$ aparición de una cabeza;
3. Existen $\binom{x+r-1}{x}$ formas de organizar la $x$ colas entre los $x+r-1$ lanzamientos antes del lanzamiento final;
4. En $r$ cabezas tienen una probabilidad conjunta de $\theta^r$ de producirse y la $x$ tienen una probabilidad conjunta de $(1-\theta)^x$ de producirse.

Si confiamos en que $$\sum_{x=0}^\infty \Pr[X = x] = 1$$ para el PMF anterior, entonces es un ejercicio sencillo calcular $$\sum_{x=0}^\infty x\Pr[X = x]$$ y $$\sum_{x=0}^\infty x(x-1) \Pr[X = x],$$ el primero de los cuales da inmediatamente el valor esperado, y el segundo conduce indirectamente a la varianza con la ayuda de la expectativa.

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En cuanto a la evaluación de la suma, observe $$\begin{align*} \sum_{x=0}^\infty x \binom{x+r-1}{x} \theta^r (1-\theta)^x &= \sum_{x=1}^\infty \frac{(x+r-1)!}{(x-1)! \, (r-1)!} \theta^r (1-\theta)^x \\ &= \sum_{x=1}^\infty r \cdot \frac{(x+r-1)!}{(x-1)! \, r!} \theta^r (1-\theta)^x \\ &= r \sum_{x=0}^\infty \frac{(x+r)!}{x! \, r!} \theta^r (1-\theta)^{x+1} \\ &= r \sum_{x=0}^\infty \binom{x+(r+1)-1}{x} \theta^r (1-\theta)^{x+1} \\ &= r \frac{1-\theta}{\theta} \sum_{x=0}^\infty \binom{x+(r+1)-1}{x} \theta^{r+1} (1-\theta)^x, \end{align*}$$ y como esta última suma es igual a $1$ (que es la suma de las probabilidades de todos los resultados para una distribución binomial negativa con parámetro $r+1$ en lugar de $r$ ), el resultado es el siguiente. Un enfoque similar se aplica a la segunda suma, que te dejo como ejercicio.

Answer 2

$W$ es la suma de $r$ variables aleatorias independientes $W_1,\ldots,W_r$ cada uno de los cuales cuenta el número de colas antes de que uno consiga un cabeza. Por lo tanto, la media y la varianza son respectivamente $r$ veces la media y la varianza de cualquiera de esas variables aleatorias independientes.

Así que $\Pr(W_1=k)=(1-\theta)^k\theta$ para $k=0,1,2,3,\ldots\,{}$ . Una forma de encontrar $\operatorname{E}(W_1)$ es sólo aplicar la definición: \begin{align} \operatorname{E}(W_1) & = \sum_{k=0}^\infty k\Pr(W=k) = \sum_{k=0}^\infty k(1-\theta)^k\theta \\ & = \sum_{k=0}^\infty \sum_{j=1}^k (1-\theta)^k \theta \quad (\text{This last sum has $0$ terms when $k=0$.}) \\ & = \sum_{j=1}^\infty \sum_{k=j}^\infty (1-\theta)^k \theta \\ & = \sum_{j=1}^\infty \frac{(1-\theta)^j\theta}{1-(1-\theta)} = \sum_{j=1}^\infty (1-\theta)^j = \frac {1-\theta} \theta. \end{align}

Para encontrar $\operatorname{E}(W_1^2-W_1)$ es algebraicamente un poco más sencillo que encontrar $\operatorname{E}(W_1^2)$ directamente: \begin{align} \operatorname{E}(W_1^2-W_1) & = \sum_{k=0}^\infty k(k-1)(1-\theta)^k\theta \\ & = \theta(1-\theta)^2\sum_{k=2}^\infty k(k-1)(1-\theta)^{k-2} \\ & = \theta(1-\theta)^2\sum_{k=2}^\infty k(k-1)\eta^{k-2} \\ & = \theta(1-\theta)^2\sum_{k=2}^\infty \frac{d^2}{d\eta^2} k\eta^{k-2} \\ & = \theta(1-\theta)^2 \frac{d^2}{d\eta^2} \sum_{k=2}^\infty \eta^k \\ & = \cdots \end{align} La última serie es geoemétrica. Súmalo; haz la diferenciación; luego sustituye $\eta$ con $1-\theta$ . A continuación, utilizando el valor conocido de $\operatorname{E}(W_1)$ puede encontrar $\operatorname{E}(W_1^2)$ y luego $\operatorname{var}(W_1)=\operatorname{E}(W_1^2)-(\operatorname{E}(W_1))^2$ .

Dos cuestiones:

• Que $\sum\dfrac{d}{d\eta}\cdots=\dfrac{d}{d\eta}\sum\cdots$ se demuestra fácilmente cuando la suma tiene un número finito de términos. Que funcione con infinitos términos es problemático. Un teorema bien conocido que no es tan difícil de demostrar dice que funciona cuando la suma es una serie de potencias y uno está en el interior del círculo de convergencia.

• Quizá sea poco elegante que utilice dos métodos muy diferentes para los dos valores esperados. Prefiero (en esta ocasión concreta de esta pregunta concreta) el primer método porque evita el problema del primer punto anterior. (El segundo método podría ser algo más aplicable en general y, por tanto, preferible en algunos otros contextos). Mi excusa es que sólo tengo 24 horas al día y debo ocuparme de otras cosas.