Minimice $z=e^{-x_{1}}+e^{-2 x_{2}}$ Sujeto a $\quad x_{1}+x_{2} \leq 1 \ , x_{1}, x_{2} \geq 0$ sin KKT

Question

Quiero minimizar $z=e^{-x_{1}}+e^{-2 x_{2}}$ sujeto a $\quad x_{1}+x_{2} \leq 1 \ , x_{1}, x_{2} \geq 0$ sin utilizar las condiciones KKT. La restricción está en desigualdades regulares como Cauchy o Jensen (algunas de las más conocidas y utilizadas). No sé cómo proceder. He intentado acotar a la baja y conseguir que esa acotación sea igual. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Por Desigualdad A.M-G.M tenemos $$e^{-x_1}+e^{-2x_2}=\dfrac{e^{-x_1}}{2}+\dfrac{e^{-x_1}}{2}+e^{-2x_2} \geq 3 \left(\dfrac{e^{-2x_1-2x_2}}{4}\right)^{\frac{1}{3}} \geq 3\left(\dfrac{e^{-2}}{4}\right)^{\frac{1}{3}} \;.$$