¿Cuál es la intuición detrás de la Desigualdad de Chebyshev en Teoría de la Medida?

Question

Desigualdad de Chebyshev Sea $f$ una función mensurable no negativa en $E .$ Entonces para cualquier $\lambda>0$, $$ m\{x \in E \mid f(x) \geq \lambda\} \leq \frac{1}{\lambda} \cdot \int_{E} f. $$

¿Qué nos dice exactamente esta desigualdad? ¿Está diciendo que hay una relación inversa entre el tamaño del conjunto mensurable y el valor de la integral?

Answer 1

Puede ser útil dibujar una imagen:

Aquí:

• la curva azul es $f(x)$,
• la base de la caja roja es el conjunto $\{x \in E: f(x) \ge \lambda\}$,
• la altura de la caja roja es $\lambda$.

La desigualdad de Chebyshev dice que el área en la caja roja es menor que el área bajo la curva azul $f(x)$.

El único problema con esta imagen es que, dependiendo de $\lambda$ y $f$, podrías tener múltiples cajas bajo la curva en diferentes ubicaciones, en lugar de solo una. Pero luego lo mismo se aplica a la suma de las áreas bajo las cajas.

Answer 2

El punto esencial es que $$0 \leq \lambda \cdot 1_{\{x \in E \;|\; f(x) \geq \lambda \} } \leq f$$

donde $1_{\{x \in E \;|\; f(x) \geq \lambda \} }$ es la función característica de $\{x \in E \;|\; f(x) \geq \lambda \}$.

Veamos.

Sea $A$ igual a $\{x \in E \;|\; f(x) \geq \lambda \} $. Entonces es claro que $$0 \leq \lambda \cdot 1_A \leq f$$ Por lo tanto $$0 \leq \lambda \cdot m(A)= \int_E \lambda \cdot 1_A \leq \int_E f$$

Entonces, dado que $\lambda >0$, tenemos

$$m(\{x \in E \;|\; f(x) \geq \lambda \} )= m(A) \leq \frac{1}{\lambda}\int_E f $$

Answer 3

Puedes pensar en esto de la siguiente manera. En una fiesta de cumpleaños, todos comen una cierta cantidad de cupcakes. El número total de cupcakes consumidos es mayor o igual a $\lambda$ veces el número de personas que comieron al menos $\lambda$ cupcakes.

Traduciendo esto en una prueba: Sea $S = \{ x \in E \mid f(x) \geq \lambda \}$. Entonces $$ \int_E f \geq \int_S f \geq \int_S \lambda = \lambda m(S). $$

Answer 4

En un entorno probabilístico, esto conduce a un límite superior en el total de dos colas de una distribución cuando las colas comienzan a distancias iguales a ambos lados de la media:

$$P(|X-\mu| \geq \lambda) = P((X-\mu)^2 \geq \lambda^2) $$ $$ \leq \frac{E[(X-\mu)^2]}{\lambda^2} = \frac{\sigma^2}{\lambda^2}, $$

donde $\mu$ es la media de la variable aleatoria $X$ y $\sigma^2$ es su varianza.

Escrito de manera ligeramente diferente como

$$ P(|X-\mu| \geq \lambda\sigma )\leq \frac{1}{\lambda^2}, $$

dice que no más de $1/\lambda^2$ de los valores de la distribución pueden estar a $\lambda$ o más desviaciones estándar de la media.

EDICIÓN: También vale la pena mencionar que al integrar la pieza del lado izquierdo (después de multiplicar por $\lambda$), también conocida como el área en la imagen popular a continuación,

$$ \lambda m\{x \in E \mid f(x) > \lambda\}, $$ tenemos

$$ \int_0^\infty \lambda m\{x \in E \mid f(x) > \lambda\} \; d\lambda = \frac{1}{2}\int_E f^2 $$

de representación de pastel de capas.

Answer 5

Supongamos la configuración habitual de funciones medibles no negativas en un espacio con medida finita de Lebesgue. Las funciones acotadas son integrables, pero hay muchas funciones integrables que no están acotadas. Por lo tanto, una pregunta natural es "¿qué tan ilimitadas pueden ser?" Chebyshev da una respuesta cuantitativa: en términos generales, dice que una función integrable no puede ser demasiado grande en conjuntos grandes, con una decadencia tipo ley de potencias $ m (f> r) \le C / r $ .

(Cuando $ r $ es demasiado pequeño, la desigualdad se vuelve bastante débil, especialmente en teoría de la probabilidad o cuando su espacio de medida es de otra manera finito, así que ignoremos ese escenario).

Uno podría suponer que algo como Chebyshev debería sostenerse comprobando la desigualdad en 'funciones pico' $ x ^ {-s} $ para $ s> 0 $ . Para el rango $ s \in (0,1) $ , $ x ^ {-s} $ están en $ L ^ 1 ([0,1]) $ a pesar de no estar acotadas. En este caso, para $ r> 1 $ $$ m(x^{-s}>r)= m((0,r^{-1/s}))=\frac1{r^{1/s}} < \frac 1r $$ ya que $ r ^ {1/s}> r , a su vez, ya que $ 1 / s> 1 $ < / span> '.

Si permitimos que $ s $ sea demasiado grande, es decir, $ s> 1 $ , es decir, $ 1 / s <1 $ < / span>, entonces la desigualdad se invierte: $$ \ frac 1 {r ^ {1 / s}}> \ frac1r $$ Por lo tanto, no podemos esperar que la desigualdad de tipo Chebyshev se mantenga con la decadencia $ 1 / r $ , incluso si reemplazamos el factor $ \ int f dx $ por algo finito.

Es interesante que el caso límite de $ 1 / x $ que es $ s = 1 $ casi no sea integrable; una manifestación de esto es que alcanza el límite de $ 1 / r $ exactamente. Otra forma de reformular Chebyshev es por lo tanto que las funciones integrables están dominadas por (una reordenación de) $ C / x $ . Esto realmente lleva a considerar el 'espacio débil $ L ^ 1 $ ' que esencialmente es un espacio de funciones para el cual tenemos la desigualdad de Chebyshev (pero no necesariamente control $ L ^ 1 $ ). Resulta que este espacio es muy útil en el análisis armónico (consulte, por ejemplo, el teorema de interpolación de Marcinkiewicz y su aplicación a la función maximal de Hardy-Littlewood ).

Finalmente, señalo que en realidad podemos refinar Chebyshev en una comparación con otras leyes de potencia $ 1 / x ^ s $ , o incluso cualquier función decreciente. Esto proviene de reescribir primero el conjunto antes de aplicar Chebyshev

$$ m (f> r) = m (f ^ s> r ^ s) \le \ frac {\ | f \ | _ {L ^ s} ^ s} {r ^ s} $$

Esto le permite recuperar la decadencia aguda de otras leyes de potencia también.

Establecer $ s = 2 $ es generalmente lo que los probabilistas llaman Chebyshev ( $ s = 1 es entonces llamado la desigualdad de Markov) pero puedes hacer el mismo truco trivialmente con cualquier función creciente en lugar de $ x ^ s $ ; una variación muy útil en la teoría de la probabilidad extrema es el límite de Chernoff $$ m (f> r) \le \ frac {\ | e ^ {tf} \ | _ {L ^ 1}} {e ^ { tr}} $$ que da una decadencia exponencial , si puedes controlar la función generadora de momentos.