Si $n$ generan un módulo libre de rango $n$ ¿son necesariamente linealmente independientes?

Question

Sea $A$ sea un anillo conmutativo distinto de cero con $1$ y $n$ un número entero positivo. Si $b_1,\ldots,b_n\in A^n$ generar $A^n$ como $A$ -¿es cierto que $b_1,\ldots,b_n$ son linealmente independientes sobre $A$ (de ahí una base)? Sospecho que esto es cierto (Es cierto si $n=1$ ), pero no puedo probarlo.

Supongo que una forma equivalente de plantear esta pregunta es: si un mapa lineal $A^n\to A^n$ es suryectiva, ¿es necesariamente inyectiva?

Cualquier ayuda será bienvenida.

Answer 1

Sí. Deja $B$ sea el $n\times n$ matriz compuesta por $b_1 \cdots b_n$ como sus columnas, y $e_1,\ldots,e_n\in A^n$ la base estándar. Dado que $b_1,\ldots,b_n$ generar $A^n$ existe $c_{ij}\in A$ tal que $e_i=c_{i1}b_1+\cdots+c_{in}b_n$ para cada $i$ . Sea $C$ sea el $n\times n$ cuya matriz $ij$ -ésima entrada es $c_{ji}$ . Entonces $BC=I$ donde $I$ es el $n\times n$ matriz de identidad. Esto implica que $\det B\in A$ es una unidad, por lo que el mapa lineal $B:A^n\to A^n$ es inyectiva.