Usos de la "proporción áurea

Question

He oído hablar mucho de las numerosas apariciones de la proporción encontrada en la naturaleza: 1.6180339887.

¿Se han encontrado usos matemáticos reales de este número? ¿Cuáles son sus ventajas? Sólo por curiosidad, en realidad.

Answer 1

No estoy seguro de si te refieres a "hecho por el hombre" como en aplicaciones del mundo real o como en aplicaciones matemáticas, pero una de mis cosas favoritas sobre la proporción áurea es que es de alguna manera el número más difícil de aproximar por los racionales.

Por un lado, tiene la expansión de fracción continua simple de convergencia más lenta. Esto se refleja en el hecho de que si se aplica el algoritmo de Euclides a dos números Fibonacci sucesivos, se obtiene un cociente de 1 en cada paso.

También existe el teorema de Hurwitz, que dice que para cualquier número irracional $\xi$ hay infinitos racionales $\frac{n}{m}$ tal que $$\left| \xi - \frac{n}{m} \right| < \frac{1}{\sqrt{5}m^2}.$$ La constante en el lado derecho no puede ser mejorada ya que, si sustituimos $\sqrt{5}$ con algún número mayor, entonces el enunciado del teorema no funciona cuando dejamos que $\xi$ sea la proporción áurea. (Informalmente, no podemos acercarnos demasiado, de forma teórica de los números, a la proporción áurea).

Answer 2

Este es un ámbito en el que Wikipedia puede ser increíblemente útil. http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio enumera todo tipo de aplicaciones, con citas si eres exigente (lo cual es encomiable).

Answer 3

En primer lugar, le recomiendo encarecidamente que vea los siguientes tres vídeos de Vihart:

1. Garabatos en matemáticas: Espirales, Fibonacci y ser una planta [1 de 3]
2. Garabatos en la clase de matemáticas: Espirales, Fibonacci y ser una planta [2 de 3]
3. Garabatos en matemáticas: Espirales, Fibonacci y ser una planta [Parte 3 de 3]

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Ahora, para añadir a lo que dijo @user8250, la proporción áurea está muy relacionada con la Números de Fibonacci . La secuencia de Fibonacci está definida por la siguiente relación de recurrencia,

$$F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$$

donde

$$F_0=0 \ \ \text{and} \ \ F_1=1.$$

A partir de esta definición vemos que la secuencia comienza de la siguiente manera,

$$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...$$ Una fórmula explícita para $F_n$ que puede ser derivado utilizando el álgebra lineal se conoce como Fórmula de Binet. Esta fórmula es

$$F_n = \frac{\phi^n -(-\phi)^{-n}}{\sqrt{5}}$$

donde $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ la proporción áurea. Incluso si no estás familiarizado con el álgebra lineal, puedes demostrar (pero no derivar) esta fórmula utilizando la inducción.

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Veamos la relación de los Números de Fibonacci adyacentes a medida que se hacen grandes. Vemos que,

$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\frac{\phi^{n+1} -(-\phi)^{-(n+1)}}{\sqrt{5}}}{\frac{\phi^n -(-\phi)^{-n}}{\sqrt{5}}} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\phi^{n+1} -(-\phi)^{-(n+1)}}{\phi^n -(-\phi)^{-n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\phi^{n+1}}{\phi^n} = \phi.$$

Curiosamente, podríamos haber derivado este límite con la misma facilidad con nuestra definición original de los números de Fibonacci:

Supongamos que el límite de las relaciones converge y que $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = L$ .

Porque $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$ podemos decir,

$$L = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{F_n+F_{n-1}}{F_n} = \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{F_n}{F_n} + \frac{F_{n-1}}{F_n} \right) = 1 + \frac{1}{L}.$$

Así que tenemos que $$L = 1 +\frac{1}{L}.$$

Esto nos lleva de nuevo a la proporción áurea. La ecuación anterior se utiliza a menudo para definir la proporción áurea: Es decir, la proporción áurea es la única solución positiva de esta ecuación. Podemos determinar el valor del límite, y de paso el valor de la proporción áurea, resolviendo,

$$L=1+\frac{1}{L}$$ $$L^2 = L + 1$$ $$L^2 - L - 1 = 0$$

Ahora, aplica la fórmula cuadrática para obtener las dos raíces,

$$L = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \ \ \text{and} \ \ L = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Sabemos que la raíz negativa debe ser extensa, ya que estamos concentrados en el límite de dos números positivos. Así que, como vimos anteriormente, el límite es $L = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = \phi$ . Con este método, también hay que demostrar que el límite existe, lo cual omitiré, pero no es demasiado difícil.

Answer 4

Una parte que se me ocurre matemáticamente sería el uso de la proporción áurea en fibonacci numbers.

La proporción áurea es la parte de la serie de conocidos fibonacci number series .

Aquí está el enlace ya que soy incapaz de escribir la serie real para el fibonacci aquí...... fibonacci