¿Cómo se realiza el cálculo mental de expresiones complicadas?

Question

Esta es la famosa foto " Aritmética mental. En la Escuela Pública de S. Rachinsky. " del artista ruso Nikolay Bogdanov-Belsky .

El problema en la pizarra es: $$ \dfrac{10^{2} + 11^{2} + 12^{2} + 13^{2} + 14^{2}}{365} $$

La respuesta es fácil utilizando papel y lápiz: $2$ . Sin embargo, como indica el nombre del cuadro, la expresión debe simplificarse sólo mentalmente.

Mis preguntas:

1. ¿Existen técnicas generales de cálculo mental útiles para realizar cálculos aritméticos básicos y exponentes?

2. ¿O hay algún truco que funcione en este caso?

3. Si es así, ¿a qué clase de problemas se puede aplicar este truco?

Answer 1

$$\begin{align}\\&\frac{10^2+11^2+12^2+13^2+14^2}{365}\\&=\frac{(12-2)^2+(12-1)^2+12^2+(12+1)^2+(12+2)^2}{365}\\&=\frac{5\times 12^2+10}{365}\\&=\frac{5(144+2)}{5\times 73}\\&=2\end{align}$$

Answer 2

Si conoces tus casillas hasta $14$ (que los estudiantes solían memorizar) y hacer algo de aritmética simple de tres dígitos en su cabeza, puede ver que

$$100+121+144=365$$ y $$169+196=365$$

Answer 3

Creo que puedes ver claramente aquí que si dejas $12$ sea igual a $x$ la expresión sería entonces

$$\frac{(x-2)^2+(x-1)^2+x^2+(x+1)^2+(x+2)^2}{365}$$

Recuerda que si elevas al cuadrado un binomio $(a+b)$ se obtendría $a^2+2ab+b^2$ por lo que si se sustituye $a$ por $x$ y $b$ ya sea por $\pm 1$ o $\pm 2$ los términos medios se cancelarían principalmente $2ab$ . Así que te quedarías con

$$\frac{(x^2+4)+(x^2+1)+x^2+(x^2+1)+(x^2+4)}{365}$$

Lo que se simplifica aún más en

$$\frac{5x^2+10}{365}$$

$$\frac{720+10}{365}$$

$$=2$$

Answer 4

Puede haber una manera más fácil:

En general $(10+a)^2=100+20a+a^2$ por lo que el numerador se convierte en

$500+20(0+1+2+3+4)+1+4+9+16$

$=500+20(10)+1+4+9+16$

$=700+1+4+9+16$

$=730$

Entonces, por supuesto $730/365=2$ .

No estoy seguro de que puedas hacer eso en tu cabeza. Definitivamente tomaría un minuto o dos.

Answer 5

La respuesta a la pregunta fue 2 casi inmediatamente:

$$\frac{10^2+11^2+12^2+13^2+14^2}{365}\approx\frac{5\cdot12^2}{365}=\frac{720}{365}\approx 2$$

144×5 es "144/2 añadir un 0" (es decir, 144×5=144×10/2), por lo que la operación completa dura menos de dos segundos.

Nótese que este método es exacto para una secuencia lineal (aritmética); también es importante para nuestra precisión que los términos sean crecientes en 1 y que el denominador sea aproximadamente del mismo orden de magnitud que el numerador.

No podría haberte dicho tan rápido que la respuesta es exactamente 2, pero ¿quién necesita precisión de todos modos? En este caso ha funcionado bastante bien.