Construcción de la bisectriz de un ángulo dado

Question

Etapas de la construcción :

1. Tomando B como centro y un radio cualquiera, dibuja un arco que intersecte los rayos BA y BC, en E y D respectivamente [ver Fig.11.1(i)].
2. A continuación, tomando como centros D y E y con el radio superior a $\frac12$ DE, dibujar arcos para se crucen entre sí, digamos en F. $\tag{*}$
3. Dibuja la semirrecta BF [ver Fig.11.1(ii)]. Esta semirrecta BF es la bisectriz necesaria del ángulo ABC. Fig. 11.1 Veamos cómo este método nos da la bisectriz del ángulo requerida. Unir DF y EF. En los triángulos BEF y BDF,

BE = BD (Radios del mismo arco)

EF = DF (Arcos de radios iguales)

BF = BF (Común)

Por lo tanto, BEF BDF (regla SSS)

En

En la construcción anterior, tengo una duda en (*), ¿por qué se remarca que el radio debe ser mayor que $\frac12 $ DE?, en segundo lugar, al realizar las construcciones ¿cómo medimos la longitud de arco DE sólo con regla y compás?

Claro que podría utilizar la fórmula, pero me parece que es hacer un poco de trampa.

Answer 1

El radio debe ser mayor que $\frac{1}{2} DE$ porque si dibujamos arcos con radio menor que ese los arcos no se intersecarán. Haz la prueba tú mismo. Recuerda $DE$ es la longitud de la línea recta entre los puntos D y E

Un círculo es $360$ ° en todo el perímetro; por lo tanto, si se divide la medida en grados de un arco por $360$ °, se halla la fracción de la circunferencia del círculo que constituye el arco. Entonces, si multiplicas la longitud de todo el círculo (la circunferencia del círculo) por esa fracción, obtienes la longitud a lo largo del arco.

Edición: Como se puede ver en el diagrama de preguntas necesitamos un punto común F donde $EF=FD$ . Ahora bien, si elegimos una longitud inferior a $\frac{1}{2} DE$ entonces $EF$ y $DF$ sea la distancia en segmento de recta entre E y D desde F. Ahora $EF+DF=DE$ para que se crucen. Sin embargo ambos son menos de la mitad de $DE$ . Así $EF+DE$ no puede ser $DE$ y por lo tanto nuestra suposición de que se reunirán era falsa