Creo que la simetría se ha tratado bien en las otras respuestas. Pero como no se mencionaron las álgebras de Lie ni los generadores infinitesimales, me gustaría añadir esta respuesta, ya que estas nociones aparecen a menudo en física.
Muchos de los grupos "ordinarios" que encontramos en una primera clase de teoría de grupos pertenecen a una clase de grupos llamados "grupos finitamente presentables". Para estos grupos se pueden elegir ciertos elementos de ese grupo como generadores, y describir ciertas relaciones en términos de la operación de grupo sobre esos elementos . Resulta que estos generadores y relaciones describir completamente el grupo.
Así, por ejemplo $\mathbb Z$ es generado por $1$ (sin relaciones): $\mathbb Z = <1>$ y $\mathbb Z_5$ es generado por $1$ sujeta a la relación $5*1 = 0$ o: $\mathbb Z_5 = <1 | 5*1 = 0>$ . En cierto modo, estos generadores y relaciones capturan todo lo que hay sobre el grupo. Los generadores actúan como "pequeños bloques de construcción" del grupo. Pero hay grupos para los que este tipo de análisis no funciona.
Los grupos de Lie son otra clase de grupos que también son "manifolds", es decir, que parecen curvas o superficies en un espacio n-dimensional. En estos grupos, los "generadores" son no del grupo, sino que son objetos infinitesimales (¡vectores!) que pertenecen a un espacio diferente (¡un espacio vectorial! El "espacio tangente a la identidad"), y las relaciones entre ellos se definen no en términos de la operación de grupo, sino en términos de una nueva operación (el corchete de Lie).
Con más detalle:
Necesitas estos vectores como generadores porque en un grupo liso (piensa en $\mathbb R$ frente a $\mathbb Z$ o el círculo $S^1$ frente a $\mathbb Z_5$ ) no se puede elegir un elemento "más pequeño" como bloque de construcción (no hay ningún número real "más pequeño" en $\mathbb R$ ). Así que en lugar de eso tienes que ponerte elegante y tomar límites de secuencias de operaciones a medida que se acercan a la identidad del grupo. Tomar estos límites requiere hacer cálculo en la superficie, que es lo que se hace en geometría diferencial. Por eso este tipo de análisis se hace en grupos lisos (es decir, que son variedades diferenciables), y por eso se requiere que los grupos de Lie sean lisos. Dado que estos vectores generadores se obtienen a partir de un proceso de cálculo limitante, se denominan "generadores infinitesimales".
La forma en que estos vectores "generan" el grupo es que se sitúan con su base en el elemento identidad del grupo y "apuntan" en la dirección de las operaciones de cuyos límites proceden. Así, se puede "partir de la identidad y seguir un vector" para generar esas operaciones. También se pueden "mezclar" vectores mediante una operación especial, diciendo algo así como "sigamos a $v$ y entonces $w$ a ver qué pasa". Esta operación sobre dos vectores te da otro vector (que no es obvio) - se llama el corchete de Lie, escrito $[v, w]$ . El corchete de Lie de dos "generadores infinitesimales" (es decir, vectores) captura información similar a las relaciones entre elementos de grupos en grupos finitamente presentables.
Así que ahora tenemos:
- grupos finitamente presentables: algunos elementos "más pequeños del grupo puede utilizarse para construir todo el grupo, sujeto a algunas relaciones entre esos elementos
- Grupos de Lie: no se pueden elegir los elementos más pequeños, pero usamos límites y geometría diferencial para exprimirlos generadores infinitesimales (es decir, vectores) de nuestro grupo. Estos vectores pueden "generar" todo el grupo[1], sujetos a relaciones entre los generadores infinitesimales mediante el soporte de Lie .
Resumiendo: un grupo de Lie es un grupo liso que se parece a una curva o una superficie (posiblemente en n dimensiones). Tiene "generadores infinitesimales" que son vectores tangentes situados en la identidad del grupo. Podemos "mezclar" estos vectores tangentes para obtener más vectores tangentes utilizando el corchete de Lie. Este espacio vectorial más el soporte de Lie es un álgebra de Lie. En conjunto, obtenemos esta versión de cálculo de generadores y relaciones.
Algunas notas finales sobre la notación que proviene de la teoría de Lie / geometría diferencial y que a menudo parece magia negra:
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Los vectores tangentes en geometría diferencial se pueden presentar como "derivaciones", por lo que se podría escribir una tangente vector como $\frac{d}{dy}$ . Esto puede ser alucinante cuando se ve por primera vez. Cuando esto ocurre en el contexto de los grupos de Lie, ese vector tangente $\frac{d}{dy}$ a menudo se denomina "generador infinitesimal de Y", para cualquier cosa que Y represente. Por ejemplo $\frac{d}{dx}$ podría ser un "generador infinitesimal de traslaciones" (en la dirección X), porque el grupo del que procede representa la simetría traslacional.
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Dado que el corchete de Lie se escribe $[v, w]$ para vectores tangentes / generadores infinitesimales $v, w$ y tales vectores en geometría diferencial se escriben a menudo como derivaciones, por ejemplo $\frac{d}{dx}$ verá a menudo expresiones como $[\frac{d}{dx}, \frac{d}{dy}]$ (Te miro a ti, física cuántica). Este tipo de notación suele indicar que hay grupos de Lie al acecho.
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la función que permite "comenzar en la dirección de un vector tangente y seguir la línea de operaciones a la que apunta" suele llamarse... $e$ . Así, por ejemplo, podría escribir $e^{t\frac{d}{dx}}$ . Se trata del "subgrupo de un parámetro" generado por $\frac{d}{dx}$ . Si ves cosas raras[2] planteadas en una exponencial: matrices, operadores diferenciales, etc... otra pista de que los grupos de Lie están al acecho.
[1] siempre que se cumplan determinadas condiciones
[2] si $e^{i\theta} = cos(\theta) + isin(\theta)$ alguna vez te molestó, tiene una hermosa interpretación en términos de grupos de Lie
