Cambio de variables en una EDP

Question

En nuestro libro de texto, tenemos el problema:

$u_{xx}+u_{yy}=0$ donde $u(x,0)=g(x)$

Se nos dice que la transformación $v=u_y$ transforma esta EDP en:

$v_{xx}+v_{yy}=0$ donde $v(x,0)=g(x)$

Tengo problemas para entender cómo el libro de texto obtuvo esta EDP transformada. Entiendo cómo transformamos la condición inicial. ¡Cualquier orientación o consejos sería muy apreciada!

Gracias de antemano.

Answer 1

A primera vista pensé que debía tratarse de un error tipográfico, pero resulta que funciona bien. Dejando $v = u_{y}$ y calcular las derivadas parciales de $v$ nos da

$$\begin{align*} v_{xx} &= u_{yxx}\\ v_{yy} &= u_{yyy} \end{align*} $$

Suponiendo simetría de las derivadas parciales $$u_{yxx} = u_{xxy},$$

y así tenemos $$v_{xx} + v_{yy} = u_{xxy} + u_{yyy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(u_{xx} + u_{yy}\right) = 0.$$