¿Cómo entender las pseudofuerzas en el formalismo lagrangiano?

Question

Consideremos una partícula libre en un sistema de referencia en rotación. Digamos que las coordenadas de la partícula vienen dadas por $(x',y')$ en este marco. Para un observador en este marco, (sospecho) el Lagrangiano es simplemente

$$ L' = \frac 1 2 m\left[(\dot x')^2 + (\dot y')^2\right] \tag{1}$$

Sin embargo, para un observador en un marco inercial con respecto a este marco giratorio el Lagrangiano sería

$$ L = \frac{1}{2}m\left[(\dot x)^2 + (\dot y)^2\right] $$ donde la transformación entre $(x,y)$ et $(x',y')$ vienen dadas por

$$\begin{align} x' &= x\cos(\theta) + y\sin(\theta) \\ y' &= -x\sin(\theta) + y\cos(\theta) \\ \text{and}\quad \theta &= \theta(t). \end{align}$$

Utilizando estas transformaciones obtengo

$$L = \frac 1 2 m\left[(\dot x')^2 + (\dot y')^2\right] + 2\omega(t)(x'\dot y' - y'\dot x') + \omega(t)^2(x'^2 + y'^2) \tag{2}$$

Así, me parece que si utilizo las ecuaciones EL para la Lagrangiana en (2) obtendría las contribuciones de pseudofuerzas como la de Coriolis y la de Euler. Sin embargo, para el observador en el marco de rotación con el Lagrangiano dado por (1), al utilizar las ecuaciones EL para ese Lagrangiano, no entiendo cómo podría describir las pseudofuerzas.

¿Tendría entonces un término de "fuerza generalizada" distinto de cero en la ecuación EL?

Answer 1

La energía cinética es:

$$T=\frac{1}{2}\,m{{ \dot{x}}}^{2}-m{ \dot{x}}\,\omega \left( t \right) y+\frac{1}{2}\,m{{ \dot{y}}}^{2}+m{ \dot{y}}\,\omega \left( t \right) x+\frac{1}{2}\,m \left( \left( \omega \left( t \right) \right) ^{2}{x}^{2}+ \left( \omega \left( t \right) \right) ^{2}{y}^{2} \right) $$

Obsérvese que las coordenadas generalizadas son $x\,,y$ pas $x'\,,y'$

Euler Lagrange $$\frac{\partial T}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial T}{\partial x}=0$$

$$\frac{\partial T}{\partial \dot{x}}=m\,\left(\dot{x}-\omega(t)\,y\right)$$

y

$$m\frac{d}{dt}\,\left(\dot{x}-\omega(t)\,y\right)= m\left(\ddot{x}-\omega\,\dot{y}-\dot{\omega}\,y\right)$$

$$\frac{\partial T}{\partial x}=m\left(\dot{y}\,\omega+\omega^2\,x\right)$$

por lo que la ecuación de movimiento para $x$

$$\ddot{x}-2\,\omega\,\dot{y}-\omega^2\,x-\dot{\omega}\,y=0$$

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las componentes del vector de posición en el marco de rotación son:

$$\vec{R}=\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ \end{bmatrix}=\left[ \begin {array}{ccc} \cos \left( \pm\varphi \left( \tau \right) \right) &-\sin \left( \pm\varphi \left( \tau \right) \right) &0 \\ \sin \left( \pm\varphi \left( \tau \right) \right) &\cos \left( \pm\varphi \left( \tau \right) \right) &0 \\ 0&0&1\end {array} \right]\,\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} $$

por lo que la energía cinética es:

$$T=\frac{m}{2}\,\vec{\dot{R}}\cdot \vec{\dot{R}}$$

donde $\vec{\dot{R}}=\frac{d}{d\tau}\vec{R}$

en mi ecuación cinética , tomé el signo menos de $\varphi(\tau)\quad,\dot{\varphi}=\omega(\tau)$ z iguales a cero , con $\tau= t$