$G$ sólo tiene un subgrupo de orden $p^{2n-1}$

Question

Esta es una pregunta del examen de licenciatura de la Universidad de Kioto.

Sea $p\geq 3$ sea primo y $n$ sea un número natural. ¿Cómo podemos demostrar que el grupo de matrices

$$G = \left\{\left[\begin{array}{cc} a & b \\ 0 & d\end{array}\right] : a,b,d \in \mathbb{Z}/(p^n\mathbb{Z}),\quad ad = 1\right\}$$

sólo tiene un subgrupo de orden $p^{2n-1}?$

Tengo problemas para determinar el orden de G. Gracias por la ayuda.

Answer 1

El número de opciones para $b$ es $p^n$ .

El número de elección para $a$ es $\phi(p^n)=p^{n-1}(p-1)$ .

Una vez $a$ se elige, $d$ está determinada de forma única.

De ello se deduce que $|G|=(p^n)\bigl(p^{n-1}(p-1)\bigr)=p^{2n-1}(p-1)$ Por lo tanto $G$ tiene un $p$ -Subgrupo Sylow de orden $p^{2n-1}$ .

Sea $n_p$ sea el número de $p$ -Subgrupos Sylow de $G$ .

Entonces, por la teoría de Sylow, obtenemos

• $n_p{\,\mid\,}(p-1)$$\\[4pt]$
• $n_p\equiv 1\;(\text{mod}\;p)$

de ahí $n_p=1$ lo que prueba la afirmación.

Answer 2

Pista: Si puedes adivinar cuál es el subgrupo (lo dejaré como ejercicio a menos que se me pida lo contrario), puedes comprobar fácilmente que es una normal $p$ -Subgrupo Sylow. (¿Por qué basta esto para demostrar que es único de su orden?)