si $\sin{(aw)}+\sin{(bw)}+\sin{(cw)}=3$ $w$ gama

Question

deje $w$ es significativa entero,si no existe $a,b,c(\pi\le a<b<c\le 2\pi)$tal $$\sin{(aw)}+\sin{(bw)}+\sin{(cw)}=3$$ Encontrar el $w$ gama.

Mi intento： desde $$\sin{(wa)}\le 1,\sin{(wb)}\le 1,\sin{(wc)}\le 1$$ a continuación, $$\sin{(wa)}=\sin{(wb)}=\sin{(wc)}=1$$

$$aw=\dfrac{\pi}{2}+2k_{1}\pi,k_{1}\in Z$$ $$bw=\dfrac{\pi}{2}+2k_{2}\pi,k_{2}\in Z$$ $$cw=\dfrac{\pi}{2}+2k_{3}\pi,k_{3}\in Z$$

qué enfoques qué piensa usted, yo podría tomar para resolver el siguiente paso?

Answer 1

Tenemos $$\begin{align}&\sin(aw)+\sin(bw)+\sin(cw)=3\\\\&\iff \sin(aw)=\sin(bw)=\sin(cw)=1\\\\&\small\iff\text{There exist three integers $k,l,m$ such that $aw=\frac{\pi}{2}+2k\pi,bw=\frac{\pi}{2}+2l\pi,cw=\frac{\pi}{2}+2m\pi$}\\\\&\small\iff\text{There exist three integers $k,l,m$ such that $\pi\le\frac{\pi+4k\pi}{2w}\lt\frac{\pi+4l\pi}{2w}\lt\frac{\pi+4m\pi}{2w}\le 2\pi$}\\\\&\small\iff \text{There exist three integers $k,l,m$ such that $2\le\frac{1+4k}{w}\lt\frac{1+4l}{w}\lt\frac{1+4 m}{w}\le el 4$}\end{align}$$

Así, vamos a encontrar una condición para $w$ tal que existen al menos tres diferentes números enteros positivos $n$ satisfacción $2\le\frac{1+4n}{w}\le 4$, es decir,$\frac{2w-1}{4}\le n\le \frac{4w-1}{4}$.

Para $w=2N$ donde $N$ es un número entero positivo, la condición es $$\left\lfloor\frac{4w-1}{4}\right\rfloor-\left\lceil\frac{2w-1}{4}\right\rceil+1\ge 3\iff (2N-1)-N+1\ge 3\iff N\ge 3.$$

Para $w=2N-1$ donde $N$ es un número entero positivo, la condición es $$\left\lfloor\frac{4w-1}{4}\right\rfloor-\left\lceil\frac{2w-1}{4}\right\rceil+1\ge 3\iff (2N-2)-N+1\ge 3\iff N\ge 4.$$

Por lo tanto, la respuesta es $\color{red}{w\ge 6}$.

Answer 2

Sugerencia:

Usted necesita para resolver el sistema

$$\frac{4k_1+1}a=\frac{4k_2+1}b=\frac{4k_3+1}c.$$

A continuación, los números de $\frac1a,\frac1b,\frac1c$ debe ser proporcional a tres enteros (de lo contrario no hay ninguna solución) y que al final hasta con un clásico sistema lineal de ecuaciones Diophantine

$$\alpha k_1-\beta k_2=d,\\\alpha k_1-\gamma k_3=d'.$$

Usted tendrá que encontrar las soluciones en $k_1$ que coinciden.

Answer 3

también hemos de resolver si $w$ ser positivos los números reales,he hecho Este resultado es $$w\in [\dfrac{17}{4},\dfrac{9}{2}]\bigcup [\dfrac{21}{4},+\infty) $$ Este problema es equivl este:$p,q,r\in N^{+}$, $$w\pi\le 2p\pi+\dfrac{\pi}{2}<2q\pi+\dfrac{\pi}{2}<2r\pi+\dfrac{\pi}{2}\le 2w\pi$$ case1 si $w\ge 6$ es claro,porque el $(w\pi,2w\pi)\subset (6\pi,12\pi)$,e $\dfrac{12\pi-6\pi}{3}=2\pi$,

caso 2: si $0<w<6$,$(w\pi,2w\pi)\subset (0,12\pi)$,

entonces

2.1 si $$w\pi\le\dfrac{\pi}{2}<\dfrac{5\pi}{2}<\dfrac{9\pi}{2}\le 2w\pi$$ a continuación, $$\Longrightarrow w\le\dfrac{1}{2},\rm{and} w\ge\dfrac{9}{4}$$ eso es imposible.

2.2 si $$w\pi\le\dfrac{5\pi}{2}<\dfrac{9\pi}{2}\le\dfrac{13\pi}{2}\le 2w\pi$$ entonces $$\Longrightarrow w\ge \dfrac{13}{4},\rm{and} w\le \dfrac{5}{2}$$ también es imposible

$2.3$ si $$w\pi\le\dfrac{9\pi}{2}<\dfrac{13\pi}{2}<\dfrac{17}{2}\pi\le 2w\pi$$ entonces $$\Longrightarrow \dfrac{17}{4}\le w\le\dfrac{9}{2}$$

$2.4$ si $$w\pi\le\dfrac{13\pi}{2}<\dfrac{17\pi}{2}<\dfrac{21\pi}{2}\le 2w\pi$$ entonces $$\dfrac{21}{4}\le w\le\dfrac{13}{2}$$

así $$w\in [\dfrac{17}{4},\dfrac{9}{2}]\bigcup [\dfrac{21}{4},+\infty) $$

Nota: si $w\in Z^{+}$, $w\ge 6,w\in Z^{+}$$