Buscando el Nombre de esta propiedad: $\mathsf{P}\left(X \leqslant x\right) = \mathsf{P}\left(h(X) \leqslant h(x)\right)$

Question

$h(\cdot)$ denota una transformación monótona creciente estricta como $\log$ .

Otra desigualdad que no acabo de entender es que

$$\mathsf{P}\left(h(X) \le h(x)\right) \ge \mathsf{P}\left(X \le h(x)\right)$$

Agradecería mucho cualquier ayuda.

Answer 1

Que yo sepa no hay nombre para la propiedad del título, que es una simple consecuencia de la identidad, válida para cualquier función estrictamente creciente $h$ , $$ \{\omega\in\Omega\mid h(X(\omega))\leqslant h(x)\}=\{\omega\in\Omega\mid X(\omega)\leqslant x\}. $$ Nota: La desigualdad en el cuerpo no puede ser cierta en general.