De los vectores bra y ket a las funciones de onda

Question

Me cuesta entender cómo se produce la transición entre ambos. Partiendo de la ecuación de Schrödinger para kets: $$i\hbar\frac{d}{dt}\left|\psi\left(t\right)\right\rangle =\hat{H}\left|\psi\left(t\right)\right\rangle \implies\left\langle x\right|i\hbar\frac{d}{dt}\left|\psi\left(t\right)\right\rangle =\left\langle x\left|H\right|\psi\left(t\right)\right\rangle \implies i\hbar\frac{d}{dt}\left\langle x|\psi\left(t\right)\right\rangle =\left\langle x\left|H\right|\psi\left(t\right)\right\rangle \implies i\hbar\frac{d}{dt}\psi\left(x,t\right)=\left\langle x\left|H\right|\psi\left(t\right)\right\rangle \underbrace{=}_{?}\hat{H}\psi\left(x,t\right)$$

Es decir, no entiendo por qué debería: $$\left\langle x\left|\hat{H}\right|\psi\left(t\right)\right\rangle =\hat{H}\left\langle x|\psi\left(t\right)\right\rangle $$ ¿Es cierto en general para cualquier operador y en cualquier caso?

Answer 1

La expresión $$\langle x|H|\Psi(t)\rangle =H\langle x|\Psi(t)\rangle \ \ \ \ \ (\text{not true !!!})$$ Puede insertar una identidad entre $$\langle x|H|\Psi(t)\rangle = \int dx'\ \langle x|H|x'\rangle \langle x'|\Psi(t)\rangle$$ Ya está. Hasta aquí puedes llegar sin poner $H=\frac{P^2}{2m}+V(X)$ . $$ \int dx'\ \langle x|H|x'\rangle \langle x'|\Psi(t)\rangle=\frac{1}{2m}\int dx'\langle x|P^2|x'\rangle \psi(x',t)+\int dx'\langle x|V(X)|x'\rangle \psi(x',t)$$ Poniendo los elementos de la matriz, nos lleva a la ecuación de Shroedinger.

Answer 2

Generalmente, $$ \langle x |\hat{H}|\psi\rangle = \int dx'\langle x|\hat{H}|x'\rangle \langle x'|\psi\rangle = \hat{H}\psi(x), $$ donde el segundo y el tercer término son dos formas de expresar lo mismo.