Cada $5$ los números enteros tienen $2$ números cuya suma o diferencia o multiplicación sea divisible por $10$

Question

Demostrar:cada $5$ los números enteros tienen $2$ números cuya suma o diferencia o multiplicación sea divisible por $10$

Creo que puedo demostrarlo con principio de encasillamiento pero no puedo hacerlo.

Answer 1

Puedes considerar los números módulo 10. Entonces esos cinco números serán cualquiera de $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ . ¿Cuáles son las diferentes opciones que puede tener?

• Es obvio que si hay dos números iguales (módulo 10, por supuesto), entonces su diferencia será divisible por $10$ .
• Evidentemente, si $0$ es una de ellas, tienes que su multiplicación por cualquier otra es divisible por 10.
• Así que vamos a suponer que son todos los números diferentes (módulo 10) y no divisibe por $10$ . A continuación, tienes que elegir de uno a cinco números del conjunto $\{1,3,5,7,9\}$ (recordemos que no puede repetir ninguna en este punto) y la(s) restante(s) de $\{2,4,6,8\}$ . Por lo tanto:
  • Todo lo que incluye $5$ y par: la multiplicación es divisible por $10$ .
  • Todo lo que incluye $1\&9$ o $3\&7$ la suma es divisible por 10.
  • Todo lo que incluye $2\&8$ o $4\&6$ la suma es divisible por 10.

Por último, ten en cuenta que esas son todas las combinaciones posibles.